訊號與系統/濾波器實現

訊號與系統

濾波器設計主要基於一組有限的廣泛使用的傳遞函式。最佳化方法可以設計其他型別的濾波器，但此處列出的函式已得到廣泛研究，並且這些濾波器（包括實現它們的電路設計）的設計易於獲得。這裡介紹的濾波器函式是低通型別的，變換方法允許獲得其他常見的濾波器型別，例如高通、帶通或帶阻。

巴特沃斯濾波器

巴特沃斯濾波器函式被設計為提供最大限度的平坦幅度響應。這是透過所有直到濾波器階數減一階的導數在直流時都為零這一事實實現的。幅度響應在通帶內沒有紋波。它由以下公式給出：

A(j\omega )=|H(j\omega )|={\sqrt {\frac {1}{1+\omega ^{2n}}}}

需要注意的是，雖然幅度響應非常平滑，但階躍響應顯示出明顯的過沖。這是由於相位響應不是線性的，或者換句話說，由於群延遲不是恆定的。

幅度響應曲線圖顯示，斜率為 20n dB/十倍頻程，其中 n 是濾波器階數。這是所有極點低通濾波器的普遍情況。傳遞函式中的零點可以增強靠近它們頻率的斜率，從而掩蓋了零極點低通濾波器的這一普遍規律。

該圖還顯示，無論濾波器階數如何，所有幅度都穿過 $A(\omega =1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ 同一點，對應於大約 -3 db。這個 -3 db 參考值通常用於指定其他型別濾波器的截止頻率。

巴特沃斯濾波器沒有特別陡峭的下降，但它們與切比雪夫 I 型濾波器一樣，都是全極點型別的。這種特殊性導致硬體（或軟體，取決於實現方法）減少，這意味著對於類似的複雜性，與具有更陡峭下降的函式（如橢圓濾波器）相比，可以實現更高階的巴特沃斯濾波器。

巴特沃斯函式的零點

歸一化巴特沃斯函式由以下公式間接定義：

H(s)\cdot H(-s)={\frac {1}{1+\omega ^{2n}}}

此函式在單位圓上具有規律排列的零點。已知穩定濾波器的所有極點都在 s 平面左側，很明顯，單位圓上左側的極點屬於 $H(s)$ ，而右側的極點屬於 $H(-s)$ .

歸一化巴特沃斯函式的截止頻率為 $f_{c}=\omega _{c}/(2\pi )=1/(2\pi )[Hz]$ 。透過縮放圓的半徑到 $\omega _{c}=2\pi f_{c}$ 可以獲得不同的截止頻率。

巴特沃斯傳遞函式

巴特沃斯濾波器的傳遞函式形式如下

H(s)={\frac {1}{den(s)}}

它也可以寫成極點的函式

H(s)={\frac {k}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}

由此，分母多項式可以從極點的值中找到。

切比雪夫濾波器

與巴特沃斯濾波器相比，切比雪夫濾波器有一個附加引數：幅度的紋波。這個紋波，可以被認為是非理想的，具有巨大的優勢，因為它允許在通帶和阻帶之間實現更陡峭的滾降。

紋波可能出現在通帶中，這是 I 型切比雪夫濾波器的情況，或者出現在阻帶中，這是 II 型濾波器的情況。

切比雪夫多項式

切比雪夫多項式具有在範圍 $-1<T_{n}(x)<1$ 內保持的特性，對於輸入在 −1 < x < 1 範圍內，然後在該範圍之外迅速增長。這種特性是設計在給定頻率範圍內具有有限振盪和在邊界處具有陡峭滾降的傳遞函式的良好先決條件。

第一類切比雪夫多項式由遞推關係定義

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\cdot T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}

第一類切比雪夫多項式的第一個是

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{2}(x)=2x^{2}-1

T_{3}(x)=4x^{3}-3x

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1

I 型切比雪夫

I 型切比雪夫濾波器在通帶中顯示出紋波。作為角頻率 $\omega$ 的函式的幅度響應為 n 階低通濾波器

G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}

其中 $\varepsilon$ 是紋波係數， $\omega _{0}$ 是截止頻率， $T_{n}()$ 是切比雪夫多項式，階數為 $n$ 。

通帶表現出等紋波行為，紋波由紋波係數 $\varepsilon$ 決定。在通帶中，切比雪夫多項式在 0 和 1 之間交替，因此濾波器的增益將在G = 1 的最大值和 $G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$ 的最小值之間交替。在截止頻率 $\omega _{0}$ 處，增益再次具有 $1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$ 的值，但隨著頻率增加，它繼續下降到阻帶中。這種行為在右側的圖中顯示出來。在-3 dB 處定義截止頻率的常見做法通常不適用於切比雪夫濾波器；相反，截止頻率被視為增益最後一次下降到紋波值時的點。