訊號與系統/拉普拉斯變換

拉普拉斯變換

雖然傅立葉級數和傅立葉變換非常適合分析週期或非週期訊號的頻率成分，但拉普拉斯變換是分析和開發濾波器等電路的首選工具。

傅立葉變換可以被認為是傅立葉級數在非週期訊號上的推廣。拉普拉斯變換可以被認為是傅立葉變換到複平面上的推廣。

單邊拉普拉斯變換

對於在所有實數t ≥ 0上定義的函式f(t)，其拉普拉斯變換為函式F(s)，定義如下

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

引數s是複數

s=\sigma +j\omega ,\,

，其中σ是實部，ω是虛部。

雙邊拉普拉斯變換

雙邊拉普拉斯變換定義如下

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

將此定義與傅立葉變換的定義進行比較，可以發現後者是拉普拉斯變換在 $s=j\omega$ 時的特例。

在電氣工程領域，雙邊拉普拉斯變換通常簡稱為拉普拉斯變換。

拉普拉斯逆變換

拉普拉斯逆變換允許找到對拉普拉斯變換的原始時間函式。

: $>f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,$

拉普拉斯變換示例

單位衝激函式（狄拉克δ函式） $\delta (t)$

${\mathcal {L}}\left\{\delta (t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\delta (t)\,dt=1.$

單位階躍函式， $u(t)$

${\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}u(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt=-{\frac {e^{-st}}{s}}{\Biggr |}_{0}^{\infty }.$

上述積分僅當 $\Re (s)>0.$ 收斂。對於 $\Re (s)>0$

${\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}={\frac {1}{s}}.$

指數函式， $e^{-at}u(t)$

${\mathcal {L}}\left\{e^{-at}u(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}e^{-at}u(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-(s+a)t}\,dt=-{\frac {e^{-(s+a)t}}{s+a}}{\Biggr |}_{0}^{\infty }$