狹義相對論/時空

狹義相對論

相對論的現代方法

雖然狹義相對論最初是由愛因斯坦在1905年提出的，但該理論的現代方法依賴於一個四維宇宙的概念，該概念最初是由赫爾曼·閔可夫斯基在1908年提出的。

閔可夫斯基的貢獻看似複雜，但只是對畢達哥拉斯定理的擴充套件

在二維空間中： $h^{2}=x^{2}+y^{2}$

在三維空間中： $h^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

在四維空間中： $s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+kt^{2}$

(其中 k = $-c^{2}$ )

現代方法使用不變性的概念來探索提供對事物位置和範圍的完整物理描述所需的座標系型別。狹義相對論的現代理論從“長度”的概念開始。在日常經驗中，物體看起來無論如何旋轉或移動，其長度都保持不變。我們認為事物的簡單長度是“不變的”。然而，正如下面的插圖所示，我們實際上是在說長度在三維座標系中看起來是不變的。

二維座標系中事物的長度由畢達哥拉斯定理給出

x^{2}+y^{2}=h^{2}

如果事物從二維平面傾斜，則這種二維長度不是不變的。在日常生活中，三維座標系似乎完全描述了長度。長度由畢達哥拉斯定理的三維版本給出

h^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}

該公式的推導如下面的插圖所示。

看起來，只要座標系中包含事物可以傾斜或排列的所有方向，那麼該座標系就可以完全代表事物的長度。然而，很明顯，事物也可能在一段時間內發生變化。時間是事物可以排列的另一個方向。這在下圖中顯示

空間和時間中兩個事件之間的直線長度稱為“時空間隔”。

1908年，赫爾曼·閔可夫斯基指出，如果事物可以在時間上重新排列，那麼宇宙可能是四維的。他大膽地認為，愛因斯坦最近發現的狹義相對論是這個四維宇宙的結果。他提出時空間隔可能與空間和時間透過四維空間中的畢達哥拉斯定理相關

s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}

其中 i 是虛數單位（有時不準確地稱為 ${\sqrt {-1}}$ ），c 是一個常數，t 是時空間隔s 所跨越的時間間隔。符號x、y 和z 代表沿相應軸的空間位移。在這個方程中，“秒”成為另一個長度單位。就像釐米和英寸都是長度單位，透過釐米 = “轉換常數”乘以英寸相關聯一樣，米和秒也透過米 = “轉換常數”乘以秒相關聯。轉換常數c 的值為大約 300,000,000 米/秒。現在 $i^{2}$ 等於負一，因此時空間隔由下式給出

s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}

閔可夫斯基對虛數的使用已被使用“度量張量”的先進幾何學所取代。度量張量允許“真實”時間的出現，時空間隔平方表示式中的負號源於當分析時空曲率時距離隨時間的變化方式（參見高階文字）。我們現在使用真即時間，但閔可夫斯基關於間隔平方的原始方程仍然有效，因此時空間隔仍然由以下公式給出

s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}

時空間隔難以想象；它們跨越一個地方和時間到另一個地方和時間，因此對於給定的觀察者來說，沿間隔移動的事物的速度已經確定。

如果宇宙是四維的，那麼時空間隔（而不是空間長度）將是不變的。無論誰測量特定的時空間隔，無論他們移動的速度有多快，都將得到相同的值。在物理術語中，時空間隔的不變性是一種型別的 **洛倫茲不變性**。時空間隔的不變性具有一些戲劇性的後果。

第一個結果是預測，如果一個物體以每秒 *c* 米的速度移動，那麼所有觀察者，無論他們移動的速度有多快，都會測量到該物體的相同速度。速度 *c* 將是一個普適常數。這將在下面解釋。

當一個物體以 *c* 的速度移動時，時空間隔為 **零**，這將在下面顯示

以速度 *v* 在 *x* 方向運動的物體在 *t* 秒內移動的距離為

x=vt

如果沒有在 *y* 或 *z* 方向上的運動，那麼時空間隔為

s^{2}=x^{2}+0+0-(ct)^{2}

所以：

s^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}

但是當速度 *v* 等於 *c* 時

s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}

因此時空間隔

s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}=0

時空間隔為零的情況只發生在速度為 *c* 時（如果 x>0）。所有觀察者都觀察到相同的時空間隔，因此當觀察者觀察到時空間隔為零的事物時，他們都觀察到它具有 *c* 的速度，無論他們自己移動的速度有多快。

由於歷史原因，普適常數 *c* 被稱為“真空中的光速”。在閔可夫斯基方法提出的頭十年或二十年裡，許多物理學家，儘管支援狹義相對論，但預計光可能不會以完全的 *c* 速度傳播，而可能以非常接近 *c* 的速度傳播。現在很少有物理學家相信真空中的光不會以 *c* 的速度傳播。

時空間隔不變性的第二個結果是，時鐘在相對於你運動的物體上看起來會走得更慢。假設有兩個人，比爾和約翰，分別在兩個相互遠離的行星上。約翰畫了一個比爾在空間和時間中運動的圖表。這在下面的插圖中顯示

由於在行星上，比爾和約翰都認為自己是靜止的，只是在時間中運動。約翰發現比爾在約翰稱之為空間的區域中運動，以及時間，而比爾認為自己只是在時間中運動。比爾也會對約翰的運動得出相同的結論。對約翰來說，就好像比爾的時軸在運動方向上傾斜，對比爾來說，就好像約翰的時軸傾斜了。

約翰計算比爾的時空間隔的長度為

s^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}

而比爾認為自己沒有在空間中移動，因此寫道

s^{2}=(0)^{2}-(cT)^{2}

時空間隔 $s^{2}$ 是不變的。對於所有觀察者來說，它具有相同的值，無論誰測量它，無論他們在直線上以何種速度移動。比爾的 $s^{2}$ 等於約翰的 $s^{2}$ ，因此

(0)^{2}-(cT)^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}

以及

-(cT)^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}

因此

t=T/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

所以，如果約翰看到比爾用一個靜止在比爾座標系中的時鐘測量了一個 1 秒的時間間隔 ( $T=1$ )，約翰將發現，他自己的時鐘在相同的兩次刻度之間測量的間隔為 $t$ ，被稱為座標時間，它大於一秒。也就是說，運動中的時鐘相對於靜止觀察者的時鐘變慢了。這被稱為“運動時鐘的相對論時間膨脹”。在時鐘靜止的參考系（比爾座標系）中測量的時間被稱為時鐘的固有時間。

約翰還會觀察到，靜止在比爾星球上的測量棒在運動方向上比他自己的測量棒短。這被稱為“運動測量棒的相對論長度收縮”。如果靜止在比爾星球上的測量棒的長度為 $X$ ，那麼我們將這個量稱為該測量棒的固有長度。從約翰星球上測量到的相同測量棒的長度 $x$ ，被稱為座標長度，其表示式為

x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

這個公式可以直接從時間膨脹的結果推匯出，並且在假設光速不變的情況下是有效的。

最後一個結論是，沿運動物體的長度方向，時鐘看起來會彼此不同步。這意味著，如果一個觀察者設定了一排同步的時鐘，它們都顯示相同的時間，那麼另一個以高速沿這排時鐘運動的觀察者將看到這些時鐘都顯示不同的時間。換句話說，相對於彼此運動的觀察者會看到不同的事件是同時發生的。這種效應被稱為相對論相位或同時性的相對性。相對論相位經常被狹義相對論的學生忽視，但如果理解了它，那麼雙生子佯謬等現象就更容易理解。

時鐘沿運動方向不同步的方式可以透過時空間隔不變性和長度收縮的概念計算出來。

在上圖中，約翰是靜止的。根據比爾的測量，兩點之間的距離是簡單的空間距離（x），且都在 t=0 時刻。而約翰認為比爾的距離測量是距離（X）和時間間隔（T）的組合。

x^{2}=X^{2}-(cT)^{2}

注意，用大寫字母表示的量是固有長度和時間，在本例中指的是約翰的測量值。

比爾的距離 x 是他測量到的約翰認為長度為 X 米的東西的長度。對於比爾來說，是約翰的測量棒在運動方向上收縮了，因此比爾測得的約翰距離 “X” 的值 “x” 是由下式給出的

x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

這種固有長度和座標長度之間的關係在上面已經看到，它將比爾的固有長度與約翰的測量值聯絡起來。它也適用於比爾觀察約翰的固有長度的方式。

x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

因此

x^{2}=X^{2}-(v^{2}/c^{2})X^{2}

所以：

(cT)^{2}=(v^{2}/c^{2})X^{2}

以及

cT=(v/c)X

所以： $T=(v/c^{2})X$

對於一個觀察者來說，同步的時鐘對於另一個以 $v$ 米每秒的速度運動的觀察者來說，在運動方向上會產生相位差，相位差為： $(v/c^{2})$ 秒每米。這是狹義相對論最重要的結果之一，學生應該充分理解。

四維宇宙的淨效應是，相對於你的運動的觀察者似乎具有傾斜於運動方向的時間座標，並且認為對你來說不是同時發生的事件是同時發生的。運動方向上的空間長度會縮短，因為它們相對於運動方向上的時間軸向上和向下傾斜，類似於從三維空間旋轉。

What velocity would cause events A and B to be simultaneous? — 什麼速度會導致事件 A 和事件 B 同時發生？

示例

一個觀察者記錄了事件 A 發生在她旁邊，然後一毫秒後在 600 公里外記錄了事件 B。另一個觀察者需要以多快的速度朝事件 B 的方向運動才能記錄到它與事件 A 同時發生？

運動時鐘之間的相位差由下式給出：

T=(v/c^{2})X

產生 10^-3 秒相位差所需的速度為

v={\frac {10^{-3}\times 3\times 10^{8}\times c}{6\times 10^{5}}}

這意味著另一個相對於第一個觀察者以 0.5c 的速度沿連線事件 A 和事件 B 的直線運動的觀察者會認為這兩個事件是同時發生的。

解讀時空圖

解讀時空圖時需要格外小心。圖只顯示二維資料，無法忠實地顯示例如零長度時空間隔是如何出現的。

當圖用來顯示空間和時間時，重要的是要注意空間和時間是透過閔可夫斯基方程相關的，而不是透過簡單的歐幾里德幾何相關的。圖只是幫助理解空間和時間之間的近似關係，不能假設例如可以使用簡單的三角函式關係來關聯表示空間位移的線和表示時間位移的線。

有時錯誤地認為時間膨脹和長度收縮的結果只適用於 x=0 和 t=0 的觀察者。這是不正確的。慣性參考系被定義為可以在給定參考系內的任何地方進行長度和時間比較。

可以在一個慣性參考系中的時間差與另一個慣性參考系中的任何時間差進行比較，前提是要記住這些差異適用於相應的線對或同時事件的平面對。

時空

為了理解伽利略相對論和狹義相對論，重要的是開始將空間和時間視為一個稱為時空的四維向量空間的不同維度。實際上，由於我們很難視覺化四維空間，因此最簡單的方法是從一個空間維度和時間維度開始。該圖顯示了一個圖，時間繪製在縱軸上，一個空間維度繪製在橫軸上。一個事件是發生在特定時間和特定空間點上的事件。（“尤利烏斯·X 在 6 月 21 日下午 6:17 在新墨西哥州萊米塔爾撞毀了他的汽車。”）一條世界線是在時空圖上繪製某個物體的位置隨時間變化的曲線（更確切地說，物體的時間隨位置變化的曲線）。因此，世界線實際上是時空中的線，而事件是時空中的點。平行於位置軸（x 軸）的水平線是一條同步線；在伽利略相對論中，這條線上的所有事件對於所有觀察者來說都是同時發生的。可以看到，伽利略相對論和狹義相對論之間的同步線是不同的；在狹義相對論中，同步線取決於觀察者的運動狀態。

在時空圖中，世界線的斜率具有特殊的意義。注意，垂直的世界線意味著它所代表的物體沒有移動 - 速度為零。如果物體向右移動，那麼世界線向右傾斜，並且它移動得越快，世界線傾斜得越多。定量地說，我們說

velocity={\frac {1}{slope~of~world~line}}.

(5.1)

注意，這對於負斜率和速度以及正斜率和速度都適用。如果物體的速度隨時間變化，那麼世界線是彎曲的，並且在任何時間的瞬時速度是世界線在該時間的切線的斜率的倒數。

關於時空圖最難理解的是，它們在一個圖中代表過去、現在和未來。因此，時空圖不會隨時間變化 - 物理系統的演化是透過在圖中檢視在連續時間段內連續的水平切片來表示的。時空圖表示事件的演化，但它們本身不會演化。

光錐

在我們四維宇宙中以光速運動的事物具有令人驚訝的性質。如果某個物體以光速沿著 x 軸運動，並在 t 秒內從原點覆蓋 x 米，則其路徑的時空間隔為零。

$s^{2}=x^{2}-(ct)^{2}$

但是 $x=ct$ 所以

$s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}=0$

將此結果推廣到一般情況，如果某物體以光速沿任何方向從原點進入或離開，它將具有為 0 的時空間隔。

$0=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}$

此方程稱為閔可夫斯基光錐方程。如果光向原點傳播，則光錐方程將描述在特定時刻可能位於原點的所有這些光子的發射位置和時間。如果光從原點傳播，則該方程將描述在特定時刻在任何未來時間't'發射的光子的位置。

在表面層面上，光錐很容易解釋。它的後表面代表在某一時刻撞擊點觀察者的光線的路徑，而它的前表面代表從點觀察者發射的光線的可能路徑。沿光錐表面傳播的事物被稱為 **光狀**，此類事物所走的路徑稱為 **零測地線**。

位於錐體外的事件被稱為 **類空間** 或者更準確地說，是 **空間分離**，因為它們與觀察者的時空間隔與空間具有相同的符號（根據此處使用的約定為正）。位於錐體內的事件被稱為 **類時間** 或 **時間分離**，因為它們的時空間隔與時間具有相同的符號。

但是，光錐不僅僅代表光的傳播。如果新增光速是最大可能速度的假設，則空間分離的事件不能直接影響觀察者。後錐體內的事件可能已經影響了觀察者，因此後錐體被稱為“影響過去”，而觀察者可以影響前錐體內的事件，因此前錐體被稱為“影響未來”。

假設光速是所有通訊的最大速度，既不是四維幾何的固有屬性，也不是四維幾何所需要的，儘管如果要透過物理理論來保持 **因果關係** 原則（即：原因先於結果），光速確實是物體的最大速度。

洛倫茲變換方程

到目前為止的討論涉及兩個觀察者之間的間隔測量（時間間隔和空間間隔）的比較。觀察者可能還想比較更一般的測量，例如兩個觀察者都記錄的單個事件的時間和位置。描述在這種情況下每個觀察者如何描述另一個觀察者的記錄的方程稱為洛倫茲變換方程。（注意，以下符號表示座標。）

下表顯示了洛倫茲變換方程。

$x^{'}={\frac {x-vt}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$	$x={\frac {x^{'}+vt^{'}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$
$y^{'}=y$	$y=y^{'}$
$z^{'}=z$	$z=z^{'}$
$t^{'}={\frac {t-(v/c^{2})x}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$	$t={\frac {t^{'}+(v/c^{2})x^{'}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$

參見洛倫茲變換的數學推導。

注意相位( (v/c²)x )是重要的，以及這些關於聯合事件的絕對時間和位置的公式如何不同於間隔公式。

洛倫茲變換的時空表示

比爾和約翰以相對速度v運動，並在彼此相遇時同步時鐘。比爾和約翰都觀察到沿比爾運動方向發生的事件。比爾和約翰將為該事件分配什麼時間？上面已經證明相對相位由： $vx/c^{2}$ 給出。這意味著由於事件的位置，比爾將在約翰的時間軸上觀察到額外的時間流逝。考慮到相位並使用時間膨脹方程，比爾將觀察到他自己的時鐘測量的時長可以用約翰的時鐘進行比較，使用

$T={\frac {t-vx/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ .

參考系之間共同事件的時間之間的這種關係被稱為洛倫茲變換時間方程。

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