此量子世界/附錄/機率

機率

基本概念

機率是對可能性進行數值度量。如果一個事件的機率等於 1（或 100%），則它一定發生。如果它的機率等於 0，則它肯定不會發生。如果它的機率等於 1/2（或 50%），則它發生的可能性與不發生的可能性相同。

您知道拋擲一枚公平硬幣有 1/2 的機率得到正面，而投擲一個公平骰子有 1/6 的機率得到 1。我們是怎麼知道的呢？

有一個稱為無差別原理的原則，它指出：如果有 n 個相互排斥且窮盡所有可能的事件，並且就我們所知，除了它們的名字（如“正面”或“反面”）之外，n 個可能性之間沒有差異，那麼每個可能性應該被分配一個等於 1/n 的機率。（相互排斥：在一次試驗中只能實現一個可能性。窮盡所有可能的事件：在一次試驗中至少實現一個可能性。相互排斥且窮盡所有可能的事件：在一次試驗中只實現一個可能性。）

由於這個原理依賴於我們知道的，因此它涉及認知機率（也稱為主觀機率）或置信度。如果您確信命題的真實性，則您將其分配一個等於 1 的機率。如果您確信一個命題是錯誤的，則您將其分配一個等於 0 的機率。如果您沒有資訊使您相信一個命題的真實性比其虛假性更可能（或不太可能），則您將其分配一個 1/2 的機率。因此，主觀機率也被稱為無知機率：如果您對可能性之間任何差異一無所知，則您將賦予它們相同的機率。

如果我們將 1 的機率分配給一個命題是因為我們相信它是真的，我們分配的是主觀機率，如果我們將 1 的機率分配給一個事件是因為它一定會發生，我們分配的是客觀機率。在量子力學出現之前，唯一已知的客觀機率是相對頻率。

頻率定義機率的優點是它允許我們至少近似地測量機率。它的問題在於它指的是總體。您不能透過拋擲一枚硬幣來測量正面出現的機率。透過拋擲越來越多的硬幣並用正面出現的次數 $N_{H}$ 除以總數 $N.$，您可以獲得正面出現的機率的越來越好的近似值。正面出現的精確機率是極限

$p(H)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {N_{H}}{N}}.$

這個公式的意思是，對於任何正數 $\epsilon ,$ 無論它有多小，您都可以找到一個（足夠大但有限的）數 $N$ 使得

$\left|p(H)-{\frac {N_{H}}{N}}\right|<\epsilon .$

從一個相互排斥且窮盡所有可能的事件的集合中， $m$ 個事件發生的機率是 $m$ 個事件的機率之和。例如，假設您投擲 1 或 6 就能獲勝。獲勝的機率是

$p(1{\hbox{ or }}6)=p(1)+p(6)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}.$

從頻率派的觀點來看，這幾乎是不言而喻的。 $N(1)/N$ 近似於 $p(1),$ $N(6)/N$ 近似於 $p(6),$ 而 $[N(1)+N(6)]/N$ 近似於 $p(1{\hbox{ or }}6).$

兩個*獨立*事件發生的機率是各個事件機率的乘積。例如，假設你擲兩個骰子，如果總點數為12，你贏。那麼

$p(6{\hbox{ and }}6)=p(6)\times p(6)={\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}.$

根據無差別原理，現在有 $6\times 6=36$ 種等機率的可能性，而用兩個骰子擲出總點數為12 只是其中之一。

重要的是要記住，兩個事件的*聯合機率* $p(A,B)=p(A{\hbox{ and }}B)$ 等於各個機率 $p(A)$ 和 $p(B)$ 的乘積*僅當*這兩個事件是獨立的，這意味著一個事件的機率不依賴於另一個事件是否發生。從命題的角度來說：命題連線詞 $P_{1}{\hbox{ and }}P_{2}$ 為真的機率等於 $P_{1}$ 為真的機率乘以 $P_{2}$ 為真的機率*僅當*其中任一命題為真的機率不依賴於另一命題是真是假。忽視這一點會導致最悲慘的後果。

兩個事件的聯合機率的一般規則是

$p(A,B)=p(B|A)\,p(A)=p(A|B)\,p(B).$

$p(B|A)$ 是一個 *條件機率*： *在* $A$ *已知的情況下*， $B$ *發生的機率*。

要理解這一點，假設 $N(A,B)$ 是 $A$ 和 $B$ 同時發生或為真的試驗次數。 $N(A,B)/N$ 近似於 $p(A,B),$ $N(A,B)/N(A)$ 近似於 $p(B|A),$ 並且 $N(A)/N$ 近似於 $p(A).$ 然而

$p(A,B)\;{\stackrel {N\rightarrow \infty }{\longleftarrow }}\;{\frac {N(A,B)}{N}}={\frac {N(A,B)}{N(A)}}\times {\frac {N(A)}{N}}\;{\stackrel {N\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}\;p(B|A)\,p(A).$

這個結論的直接結果是 *貝葉斯定理*

$p(B|A)={\frac {p(A|B)}{p(A)}}p(B).$

以下公式同樣容易得出

$p(X)=p(X|Y)\,p(Y)+p(X|{\overline {Y}})\,p({\overline {Y}}),$

當 ${\overline {Y}}$ 發生或為真時，$Y$ 不會發生或為假。推廣到 $n>2$ 個互斥且窮舉的可能性應該顯而易見。

---

給定一個 *隨機變數*，它是一組 $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ 的隨機數，我們可能想知道算術平均值

$\langle X\rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}$

以及 *標準差*，它是從算術平均值到根均方偏差的距離。

$\sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}}.$

標準差是 *統計離散度* 的一個重要指標。

給定 $n$ 個可能的測量結果 $v_{1},\dots v_{n}$，機率為 $p_{k}=p(v_{k}),$ 我們有一個 *機率分佈* $\{p_{1},\dots ,p_{n}\},$ 並且我們可能想知道 $X,$ 的 *期望值*，定義為

$\langle X\rangle =\sum _{k=1}^{n}p_{k}x_{k}$

以及相應的標準差

$\sigma (X)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}p_{k}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}},$

這是一個方便的 $X$ 模糊度的度量。

我們已經將機率定義為似然的數值度量。那麼似然是什麼？除了作為數值度量，機率是什麼？頻率主義定義涵蓋了一些情況，認知主義定義涵蓋了其他情況，但哪種定義可以涵蓋所有情況？似乎機率是我們直覺上理解的那些概念之一，但就像時間或紫色的體驗一樣，無法用其他概念解釋。