量子世界/附錄/機率/問題

一些問題

問題 1（蒙提霍爾問題）。遊戲節目中的一位玩家被賦予了選擇三個門的權利。在其中一扇門後面是大獎（例如，一輛汽車）；在另外兩扇門後面是安慰獎（例如，山羊）。玩家選擇了一扇門，節目主持人查看了剩下的兩扇門並開啟其中一扇門。他開啟的門後面是安慰獎。主持人然後給玩家提供兩種選擇：要麼堅持最初選擇的門，要麼換到另一扇關閉的門。哪種選擇給玩家贏得大獎的機率更大：換門還是堅持最初的選擇？或者說機會相等？

問題 2。假設你連續擲硬幣，並等待第一次出現 HTT 模式。例如，如果投擲的序列是

H H T H H T H H T T H H T T T H T H

那麼 HTT 模式將在第十次投擲後出現。設 A(HTT) 為 HTT 模式出現前平均的投擲次數，設 A(HTH) 為 HTH 模式出現前平均的投擲次數。以下哪一項是正確的？

(a) A( HTH) < ( HTT), (b) A(HTH) = A(HTT), 或 (c) A(HTH) > A(HTT).

問題 3。假設對某種疾病（例如，艾滋病毒）的檢測準確率為 99%。假設隨機抽取的人檢測結果呈陽性。該人實際患病的機率是多少？

解決方案

問題 1。設 $p(C1)$ 為汽車位於門 1 後面的機率，$p(O3)$ 為主持人開啟門 3 的機率，以及 $p(O3|C1)$ 為已知汽車位於門 1 後面，主持人開啟門 3 的機率。我們有

$p(O3)=p(O3|C1)\,p(C1)+p(O3|C2)\,p(C2)+p(O3|C3)\,p(C3)$

以及

$p(O3|C2)\,p(C2)=p(C2|O3)\,p(O3).$

如果第一個選擇是門 1，那麼 $p(O3|C1)=1/2,$ $p(O3|C2)=1,$ 以及 $p(O3|C3)=0.$ 因此

$p(O3)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{3}}+0\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}$

因此

$p(C2|O3)={\frac {p(O3|C2)\,p(C2)}{p(O3)}}={\frac {1\times {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{3}}.$

換句話說：如果玩家第一次選擇的是門 1，主持人開啟的是門 3，那麼汽車在門 2 後面的機率是 $2/3,$ 而汽車在門 1 後面的機率是 1 – 2/3 = 1/3。一個更快的理解方式是比較這個遊戲與另一個遊戲，在這個遊戲中，主持人提供選擇，要麼開啟最初選擇的門，要麼開啟 *兩扇* 另一扇門（無論哪扇，或者任何一扇，如果有車，就贏）。

注意：這個結果取決於主持人 *故意* 只打開有山羊的門。如果她不知道 - 或者不在乎 (!) - 汽車在哪個門後面，並且隨機開啟剩餘的門，那麼最初可能出現的 1/3 的結果會被她開啟有山羊的門而刪除。在這種情況下，玩家在切換時不會獲得任何優勢（或劣勢）。所以答案取決於遊戲的規則，而不僅僅是事件的順序。當然，玩家可能不知道這方面的“規則”是什麼，在這種情況下，他仍然應該換門，因為這樣做不會有任何壞處。

問題 2。直到出現 HTT 的平均投擲次數 A(HTT) 等於 8，而 A(HTH) = 10。要了解為什麼後者更大，假設你已經投擲了 HT。如果你正在尋找 HTH，並且下一次投擲給你 HTT，那麼你下一次看到 HTH 的機會是在總共 6 次投擲之後，而如果你正在尋找 HTT，並且下一次投擲給你 HTH，那麼你下一次看到 HTT 的機會是在總共 5 次投擲之後。

問題 3。答案取決於這種疾病的罕見程度。假設 10,000 人中只有一人患有這種疾病。這意味著 100 萬人中有 100 人患病。如果對 100 萬人進行測試，將會有 99 個真陽性和一個假陰性。剩餘 999,900 人中的 99%——即 989,901 人——將產生真陰性，而 1%——即 9,999 人——將產生假陽性。隨機抽取一個測試結果為陽性的個體實際上患有這種疾病的機率是真陽性人數除以陽性人數，在本例中為 99/(9999+99) = 0.0098——不到 1%！

寓意

無論是科學資料還是法庭證據——通常都有競爭性的解釋，通常每個解釋都有一個可能的方面和一個不可能的方面。例如，患病的可能性很小，但測試結果可能是正確的；沒有患病的可能性很大，但錯誤的測試結果的可能性很小。您可以看到準確評估競爭性解釋的可能性有多重要，如果您嘗試過這些問題，您就會發現我們並不擅長此類評估。