量子世界/附錄/機率/問題

一些問題

問題 1 (蒙提霍爾問題). 一位遊戲節目參賽者被賦予了選擇三扇門的機會。其中一扇門後面是特等獎（比如一輛汽車）；另外兩扇門後面是安慰獎（比如兩隻山羊）。參賽者選擇了一扇門，主持人偷看了一下門後面並打開了一扇剩餘的門。他開啟的門後面是一隻山羊。然後主持人讓參賽者可以選擇保留一開始選擇的門，或者換成另一扇關著的門。什麼給了參賽者更高的獲獎機會：換門還是保留最初的選擇？或者兩者機會相等？

問題 2. 假設你連續拋硬幣，直到第一次出現 HTT 模式。例如，如果丟擲的序列是

H H T H H T H H T T H H T T T H T H

那麼 HTT 模式將在第 10 次拋擲後出現。令 A(HTT) 為 HTT 出現前拋擲次數的平均數，令 A(HTH) 為 HTH 出現前拋擲次數的平均數。下列哪個是正確的？

(a) A( HTH) < ( HTT), (b) A(HTH) = A(HTT), 或 (c) A(HTH) > A(HTT).

問題 3. 假設有一種針對某種疾病（例如 HIV）的測試，準確率為 99%。假設隨機抽取一個人，結果呈陽性。這個人實際上患病的機率是多少？

解決方案

問題 1. 令 $p(C1)$ 為汽車在門 1 後面的機率，$p(O3)$ 為主持人開啟門 3 的機率，$p(O3|C1)$ 為給定汽車在門 1 後面，主持人開啟門 3 的機率。我們有

$p(O3)=p(O3|C1)\,p(C1)+p(O3|C2)\,p(C2)+p(O3|C3)\,p(C3)$

以及

$p(O3|C2)\,p(C2)=p(C2|O3)\,p(O3).$

如果第一個選擇是門 1，那麼 $p(O3|C1)=1/2,$ $p(O3|C2)=1,$ 並且 $p(O3|C3)=0.$ 因此

$p(O3)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{3}}+0\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}$

因此

$p(C2|O3)={\frac {p(O3|C2)\,p(C2)}{p(O3)}}={\frac {1\times {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{3}}.$

用文字來說：如果玩家第一次選擇的是門1，主持人打開了門3，那麼汽車在門2後面的機率是$2/3,$ 而汽車在門1後面的機率是 1 – 2/3 = 1/3。 一個更快的理解切換可以*雙倍*獲勝機會的方法是將這個遊戲與另一個遊戲進行比較，在這個遊戲中，主持人提供選擇：要麼開啟最初選擇的門，要麼開啟*兩個*其他門（無論哪個門有汽車，或者都沒有，都可以贏）。

注意：這個結果取決於主持人*故意*只打開一扇後面有山羊的門。如果她不知道 - 或者不在乎 (!) - 汽車在哪個門後面，並且隨機開啟剩餘的門，那麼原本可能的 1/3 的結果就被她開啟有山羊的門給去掉了。在這種情況下，玩家透過切換不會獲得任何優勢（或劣勢）。所以答案取決於遊戲規則，而不僅僅是事件的順序。當然，玩家可能不知道這方面的“規則”，在這種情況下，他仍然應該切換門，因為這樣做不會有任何劣勢。

問題 2. 直到出現 HTT 的平均拋擲次數 A(HTT) 等於 8，而 A(HTH) = 10。 為了理解為什麼後者更大，想象一下你已經丟擲了 HT。 如果你在尋找 HTH 並且下一次拋擲得到 HTT，那麼你下一次看到 HTH 的機會是在總共 6 次拋擲之後，而如果你在尋找 HTT 並且下一次拋擲得到 HTH，那麼你下一次看到 HTT 的機會是在總共 5 次拋擲之後。

問題 3. 答案取決於疾病的罕見程度。假設每 10,000 人中就有 1 人患有這種疾病。這意味著 100 萬人中就有 100 人。 如果對 100 萬人進行檢測，將會有 99 個真陽性和 1 個假陰性。 剩餘 999,900 人的 99% - 也就是說，989,901 人 - 將會產生真陰性，而 1% - 也就是說，9,999 人 - 將會產生假陽性。 隨機選取一個檢測呈陽性的人實際上患有這種疾病的機率是真陽性的人數除以陽性的人數，在本例中是 99/(9999+99) = 0.0098 - 小於 1%！

道德

無論是科學資料還是法庭證據 - 通常都會有相互競爭的解釋，並且通常每種解釋都有一個可能的部分和一個不可能的部分。例如，患有疾病是不可能的，但測試可能是正確的；沒有患病是可能的，但測試結果是錯誤的。你可以看到準確評估競爭解釋的可能性非常重要，如果你嘗試過這些問題，你會發現我們並不擅長這樣的評估。