量子世界/附錄/機率

機率

基本概念

機率是可能性的一種數值度量。如果一個事件的機率等於 1（或 100%），那麼它一定發生。如果它等於 0，那麼它絕對不會發生。如果它等於 1/2（或 50%），那麼它發生的可能性與不發生的可能性相同。

您會知道拋一枚公平的硬幣正面朝上的機率為 1/2，拋一個公平的骰子出現 1 的機率為 1/6。我們是如何知道的？

有一個叫做“無差異原理”的原理，它指出：如果有 n 個互斥且窮盡的可能性，並且據我們所知，除了名字（例如“正面”或“反面”）之外，n 種可能性之間沒有差異，那麼每種可能性都應該被分配一個等於 1/n 的機率。（“互斥”：在一次試驗中只能實現一種可能性。“窮盡”：在一次試驗中至少實現一種可能性。“互斥且窮盡”：在一次試驗中恰好實現一種可能性。）

由於這個原理訴諸於我們“知道”的東西，所以它涉及“認知”機率（也稱為“主觀”機率）或“信念度”。如果您確信一個命題的真值，那麼您將其機率分配為 1。如果您確信一個命題是假的，那麼您將其機率分配為 0。如果您沒有任何資訊讓您相信一個命題的真值比假值更可能（或更不可能），那麼您將其機率分配為 1/2。因此，主觀機率也被稱為“無知機率”：如果您不知道可能性之間存在任何差異，您會將它們分配為相同的機率。

如果我們因為“相信”一個命題是真而將其機率分配為 1，那麼我們分配的是主觀機率，如果我們因為一個事件“必然”發生而將其機率分配為 1，那麼我們分配的是客觀機率。在量子力學出現之前，唯一已知的客觀機率是“相對頻率”。

頻率主義機率定義的優勢在於它允許我們至少近似地測量機率。它遇到的問題是它指的是“總體”。您不能透過拋一枚硬幣來測量正面朝上的機率。您可以透過拋越來越多的硬幣 $N$ 並將正面朝上的次數 $N_{H}$ 除以 $N.$ 來獲得對正面朝上機率的越來越好的近似值。正面朝上的精確機率是以下極限

$p(H)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {N_{H}}{N}}.$

這個公式的含義是，對於任何正數 $\epsilon ,$ 無論它有多小，您都可以找到一個（足夠大但有限）的數字 $N$ 使得

$\left|p(H)-{\frac {N_{H}}{N}}\right|<\epsilon .$

從一個互斥且窮盡的 $n$ 個可能事件中發生 $m$ 個事件的機率是這 $m$ 個事件的機率之和。例如，假設您在擲骰子時擲出 1 或 6 就會獲勝。獲勝的機率是

$p(1{\hbox{ or }}6)=p(1)+p(6)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}.$

從頻率論的角度來看，這幾乎是顯而易見的。 $N(1)/N$ 近似於 $p(1),$ $N(6)/N$ 近似於 $p(6),$ 並且 $[N(1)+N(6)]/N$ 近似於 $p(1{\hbox{ or }}6).$

兩個*獨立*事件發生的機率是各個事件機率的乘積。例如，假設你擲兩個骰子，如果總和是 12，你贏了。那麼

$p(6{\hbox{ and }}6)=p(6)\times p(6)={\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}.$

根據無差別原理，現在有 $6\times 6=36$ 種等機率的可能性，而用兩個骰子擲出總和為 12 是其中之一。

務必牢記，兩個事件 $A,B$ 的 聯合機率 $p(A,B)=p(A{\hbox{ and }}B)$ 等於各個機率 $p(A)$ 和 $p(B)$ 的乘積，當且僅當 兩個事件是獨立的，也就是說，一個事件發生的機率與另一個事件是否發生無關。用命題來說：命題 $P_{1}{\hbox{ and }}P_{2}$ 為真的機率等於 $P_{1}$ 為真的機率乘以 $P_{2}$ 為真的機率，當且僅當 任何一個命題為真的機率與另一個命題是真是假無關。忽視這一點會帶來 最悲慘的後果。

兩個事件聯合機率的一般規則是

$p(A,B)=p(B|A)\,p(A)=p(A|B)\,p(B).$

$p(B|A)$ 是一個 條件機率：在 $A.$ 發生的條件下，$B$ 發生的機率。

為了看到這一點，令 $N(A,B)$ 為同時發生 $A$ 和 $B$ 或為真的試驗次數。 $N(A,B)/N$ 近似於 $p(A,B),$ $N(A,B)/N(A)$ 近似於 $p(B|A),$ 以及 $N(A)/N$ 近似於 $p(A).$ 但是

$p(A,B)\;{\stackrel {N\rightarrow \infty }{\longleftarrow }}\;{\frac {N(A,B)}{N}}={\frac {N(A,B)}{N(A)}}\times {\frac {N(A)}{N}}\;{\stackrel {N\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}\;p(B|A)\,p(A).$

這個結果的一個直接推論就是 貝葉斯定理

$p(B|A)={\frac {p(A|B)}{p(A)}}p(B).$

以下內容同樣容易建立

$p(X)=p(X|Y)\,p(Y)+p(X|{\overline {Y}})\,p({\overline {Y}}),$

其中 ${\overline {Y}}$ 發生或為真，當且僅當 $Y$ 不發生或為假。對於 $n>2$ 個互斥且完備的可能性，其推廣應該是顯而易見的。

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給定一個 隨機變數，它是一個隨機數的集合 $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$，我們可能想知道它的算術平均值

$\langle X\rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}$

以及 *標準差*，它是相對於算術平均值的均方根偏差。

$\sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}}.$

標準差是*統計離散度*的一個重要衡量指標。

給定 $n$ 個可能的測量結果 $v_{1},\dots v_{n}$，其機率為 $p_{k}=p(v_{k}),$，我們得到一個*機率分佈* $\{p_{1},\dots ,p_{n}\},$，我們可能想知道*期望值*是什麼 $X,$，定義如下：

$\langle X\rangle =\sum _{k=1}^{n}p_{k}x_{k}$

以及相應的標準差

$\sigma (X)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}p_{k}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}},$

這是測量 $X$ 模糊度的便捷方法。

我們已經將機率定義為一種可能性數值度量。那麼什麼是可能性呢？除了數值度量之外，機率是什麼呢？頻率定義涵蓋了一些情況，認識論定義涵蓋了其他情況，但哪種定義可以涵蓋所有情況？似乎機率是我們直觀上有意義的概念之一，但它就像時間或紫色的體驗一樣，無法用其他概念來解釋。