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薛定諤終於來了

薛定諤方程是非相對論性的。我們得到電磁作用微分的非相對論版本，

$dS=-mc^{2}\,dt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-qV(t,\mathbf {r} )\,dt+(q/c)\mathbf {A} (t,\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,$

透過展開根式並忽略除前兩項之外的所有項

${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}=1-{1 \over 2}{v^{2} \over c^{2}}-{1 \over 8}{v^{4} \over c^{4}}-\cdots \approx 1-{1 \over 2}{v^{2} \over c^{2}}.$

如果 $v\ll c,$，這顯然是合理的，定義了非相對論性區域。

將 $dS$ 的勢能部分寫成 $q\,[-V+\mathbf {A} (t,\mathbf {r} )\cdot (\mathbf {v} /c)]\,dt$ 使得在大多數非相對論性情況下，由向量勢表示的效應 $\mathbf {A}$ 比由標量勢表示的效應 $V.$ 小。如果我們忽略它們（或假設 $\mathbf {A}$ 為零），並且如果我們在 $V$ 的定義中包含電荷 $q$（或假設 $q=1$），我們得到

$S[{\mathcal {C}}]=-mc^{2}(t_{B}-t_{A})+\int _{\mathcal {C}}dt\left[{\textstyle {m \over 2}}v^{2}-V(t,\mathbf {r} )\right]$

表示與時空路徑 ${\mathcal {C}}.$ 相關的作用量。

因為第一項對於所有從 $A$ 到 $B,$ 的所有路徑都是相同的，它對不同路徑關聯的幅度的相位之間的差異沒有影響。透過去掉它，我們既不會改變經典現象（因為極值路徑保持不變），也不會改變數子現象（因為干涉效應只取決於這些差異）。因此

$\langle B|A\rangle =\int {\mathcal {DC}}e^{(i/\hbar )\int _{\mathcal {C}}dt[(m/2)v^{2}-V]}.$

我們現在引入所謂的波函式 $\psi (t,\mathbf {r} )$，作為在時間 $t$ 進行適當測量時，在 $\mathbf {r}$ 處找到粒子的幅度。 $\langle t,\mathbf {r} |t',\mathbf {r} '\rangle \,\psi (t',\mathbf {r} '),$ 因此，是首先在 $\mathbf {r} '$（在時間 $t'$）然後在 $\mathbf {r}$（在時間 $t$）處找到粒子的幅度，前提是規則 B 適用。因此，波函式滿足以下方程

$\psi (t,\mathbf {r} )=\int \!d^{3}r'\,\langle t,\mathbf {r} |t',\mathbf {r} '\rangle \,\psi (t',\mathbf {r} ').$

我們再次簡化任務，假設空間是一維的。我們進一步假設$t$ 和 $t'$ 之差為無窮小間隔 $\epsilon .$ 由於 $\epsilon$ 是無窮小的，因此只有一條路徑從 $x'$ 通向 $x.$ 因此我們可以忽略路徑積分，只保留歸一化因子 ${\mathcal {A}}$，它隱含在積分測度 ${\mathcal {DC}},$ 中，並進行以下替換

$dt=\epsilon ,\quad v={\frac {x-x'}{\epsilon }},\quad V=V\left(t{+}{\frac {\epsilon }{2}},{\frac {x{+}x'}{2}}\right).$

這給了我們

$\psi (t{+}\epsilon ,x)={\mathcal {A}}\int \!dx'\,e^{im(x{-}x')^{2}/2\hbar \epsilon }\,e^{-(i\epsilon /\hbar )V(t{+}\epsilon /2,(x{+}x')/2)}\,\psi (t,x').$

如果我們引入 $\eta =x'-x$ 並對 $\eta$ 而不是 $x'.$ 進行積分，我們可以得到進一步的簡化。（積分“邊界” $-\infty$ 和 $+\infty$ 對於 $x'$ 和 $\eta .$) 現在我們有

$\psi (t+\epsilon ,x)={\mathcal {A}}\int \!d\eta \,e^{im\eta ^{2}/2\hbar \epsilon }\,e^{-(i\epsilon /\hbar )V(t{+}\epsilon /2,x{+}\eta /2)}\,\psi (t,x{+}\eta ).$

由於我們對極限 $\epsilon \rightarrow 0,$ 感興趣，我們以 $\epsilon .$ 的一階展開所有項。我們應該以什麼階數的 $\eta$ 進行展開？當 $\eta$ 增加時，相位 $m\eta ^{2}/2\hbar \epsilon$ 將以無限的速度增加（在極限 $\epsilon \rightarrow 0$ 中），除非 $\eta ^{2}$ 與 $\epsilon .$ 同階。在這個極限下，積分的高階項會相互抵消。因此，左邊展開為

$\psi (t+\epsilon ,x)\approx \psi (t,x)+{\partial \psi \over \partial t}\epsilon ,$

當 $e^{-(i\epsilon /\hbar )V(t{+}\epsilon /2,x{+}\eta /2)}\,\psi (t,x{+}\eta )$ 展開時，

$\left[1-{i\epsilon \over \hbar }V(t,x)\right]\left[\psi (t,x)+{\partial \psi \over \partial x}\eta +{\frac {1}{2}}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}\eta ^{2}\right]=\left[1-{i\epsilon \over \hbar }V(t,x)\right]\!\psi (t,x)+{\partial \psi \over \partial x}\eta +{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}{\eta ^{2} \over 2}.$

需要對以下積分進行求值

$I_{1}=\int \!d\eta \,e^{im\eta ^{2}/2\hbar \epsilon },\quad I_{2}=\int \!d\eta \,e^{im\eta ^{2}/2\hbar \epsilon }\eta ,\quad I_{3}=\int \!d\eta \,e^{im\eta ^{2}/2\hbar \epsilon }\eta ^{2}.$

求解結果為

$I_{1}={\sqrt {2\pi i\hbar \epsilon /m}},\quad I_{2}=0,\quad I_{3}={\sqrt {2\pi \hbar ^{3}\epsilon ^{3}/im^{3}}}.$

將所有部分重新拼湊起來，得到

$\psi (t,x)+{\partial \psi \over \partial t}\epsilon ={\mathcal {A}}{\sqrt {2\pi i\hbar \epsilon \over m}}\left(1-{i\epsilon \over \hbar }V(t,x)\right)\psi (t,x)+{{\mathcal {A}} \over 2}{\sqrt {2\pi \hbar ^{3}\epsilon ^{3} \over im^{3}}}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}.$

等式兩邊必須具有相同的 $\psi (t,x)$ 因子，因此 ${\mathcal {A}}={\sqrt {m/2\pi i\hbar \epsilon }},$，最終得到

${\partial \psi \over \partial t}\epsilon =-{i\epsilon \over \hbar }V\psi +{i\hbar \epsilon \over 2m}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}.$

乘以 $i\hbar /\epsilon$ 並取極限 $\epsilon \rightarrow 0$ （由於 $\epsilon$ 已消失，因此這是一個平凡的步驟），我們得到了具有一個自由度的粒子在勢場 $V(t,x)$ 作用下的薛定諤方程。

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+V\psi .$

請奏響號角！擴充套件到三維空間非常簡單。

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial z^{2}}\right)+V\psi .$