費曼通往薛定諤的路線

在時間 $t_{2}$ 進行的測量可能結果的機率由薛定諤波函式 $\psi (\mathbf {r} ,t_{2})$ 決定。波函式 $\psi (\mathbf {r} ,t_{2})$ 由薛定諤方程透過 $\psi (\mathbf {r} ,t_{1}).$ 決定。是什麼決定了 $\psi (\mathbf {r} ,t_{1})$ ? 答案是，在 $t_{1}$ 進行的測量結果——還能是什麼呢？實際測量結果決定了可能測量結果的機率。

兩條規則

在本章中，我們將從兩條基本規則推匯出量子力學機率演算法。首先，兩個定義

備選方案是可能測量的結果序列。
每個備選方案都與一個稱為振幅的複數相關聯。

假設你想要計算在給定先前測量實際結果的情況下，測量可能結果的機率。你需要執行以下操作

選擇任何可能在中間進行的測量序列。
為每個備選方案分配一個振幅。
應用以下任一規則

規則 A: 如果進行了中間測量（或者如果可以從其他測量推斷出如果進行了測量，它們的結果將是什麼），首先將備選方案振幅的絕對值平方，然後將結果相加。

規則 B: 如果沒有進行中間測量（並且如果無法從其他測量推斷出它們的結果將是什麼），首先將備選方案振幅相加，然後將結果的絕對值平方。

在接下來的部分中，我們將探討這些規則對各種設定的影響，並思考它們的起源——它們的raison d'être。在這裡，我們將使用規則 B 來確定給定玻恩對 $\psi (x)$ 的機率解釋的 ${\overline {\psi }}(k)$ 的解釋。

在所謂的“連續歸一化”中，具有明確動量 $\hbar k'$ 的粒子的非物理極限與波函式相關聯

\psi _{k'}(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \delta (k-k')\,e^{i[kx-\omega (k)t]}dk={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{i[k'x-\omega (k')t]}.

因此，我們可以寫成 $\psi (x,t)=\int {\overline {\psi }}(k)\,\psi _{k}(x,t)\,dk.$

${\overline {\psi }}(k)$ 是對無限精確動量測量結果為 $\hbar k$ 的振幅。 $\psi _{k}(x,t)$ 是在對動量進行無限精確測量後（時間為 $t$ ），對位置進行無限精確測量，結果為 $x$ 的振幅。動量測量結果為 $\hbar k.$ 此外， $\psi (x,t)$ 是在時間為 $t$ 時，對位置進行無限精確測量，結果為 $x$ 的振幅。 $t.$

因此，上面的公式告訴我們，在時間為 $t$ 時，找到 $x$ 的振幅是：

對結果為 $\hbar k$ 的振幅和
對結果為 $x$ （時間為 $t$ ）的振幅的乘積，

其中所有 $k$ 值相加。 $k.$

根據規則 A 的規定，我們會發現，找到在 $t$ 時，找到 $x$ 的機率是：

對結果為 $\hbar k$ 的機率和
對結果為 $x$ （時間為 $t$ ）的機率的乘積，

其中所有 $k$ 值相加。 $k.$

後者是根據標準機率論的期望。但如果這在規則 A 規定的條件下成立，那麼在規則 B 規定的條件下，用“振幅”替換“機率”也會成立。因此，鑑於 $\psi _{k}(x,t)$ 和 $\psi (x,t)$ 是在無限精確的位置測量中獲得結果 $x$ 的振幅， ${\overline {\psi }}(k)$ 是在無限精確的動量測量中獲得結果 $\hbar k$ 的振幅。

註釋

由於規則 B 規定動量測量實際上並未進行，因此我們無需擔心進行無限精確動量測量的可能性。
如果我們將 $|\psi (x)|^{2}$ 稱為“獲得結果 $x,$ 的機率”，我們的意思是 $|\psi (x)|^{2}$ 在任何區間或實數線的子集上的 _積分_ 是在我們粒子在這個區間或子集內被發現的機率。

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