量子世界/嚴重疾病/出生

出生

在厄爾溫·薛定諤發表以他名字命名的方程式的同一年，非相對論理論由馬克斯·玻恩的洞察力完成，他認為薛定諤波函式 $\psi (\mathbf {r} ,t)$實際上只是一個計算機率的工具，在空間區域$R$中檢測到“由” $\psi (\mathbf {r} ,t)$描述的粒子的機率由體積積分給出

$\int _{R}|\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r=\int _{R}\psi ^{*}\psi \,d^{3}r$

— 前提是進行適當的測量，在本例中，是對粒子在$R$中的存在進行測試。由於找到粒子的機率在任何地方（無論在哪裡）都必須是 1，只有平方可積函式才能“描述”一個粒子。這排除了$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} },$它不是平方可積的。換句話說，沒有粒子可以具有如此尖銳的動量，以至於由$\hbar$乘以波矢 $\mathbf {k}$給出，而是由不同動量的真實機率分佈給出。

給定機率密度函式 $|\psi (x)|^{2}$，我們可以定義期望值

$\langle x\rangle =\int |\psi (x)|^{2}\,x\,dx=\int \psi ^{*}\,x\,\psi \,dx$

以及標準差 $\Delta x={\sqrt {\int |\psi |^{2}(x-\langle x\rangle )^{2}}}$

以及 $|\psi (x)|^{2}$的更高矩。同樣地，

$\langle k\rangle =\int {\overline {\psi }}\,^{*}\,k\,{\overline {\psi }}\,dk$  和  $\Delta k={\sqrt {\int |{\overline {\psi }}|^{2}(k-\langle k\rangle )^{2}}}.$

這裡給出另一個表示式$\langle k\rangle :$

$\langle k\rangle =\int \psi ^{*}(x)\left(-i{\frac {d}{dx}}\right)\psi (x)\,dx.$

為了驗證這兩個表示式實際上是相等的，我們把  $\psi (x)=(2\pi )^{-1/2}\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{ikx}dk$  代入後一個表示式。

$\langle k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \psi ^{*}(x)\left(-i{\frac {d}{dx}}\right)\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{ikx}dk\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \psi ^{*}(x)\int {\overline {\psi }}(k)\,k\,e^{ikx}dk\,dx.$

接下來，我們用$(2\pi )^{-1/2}\int {\overline {\psi }}\,^{*}(k')\,e^{-ik'x}dk'$  替換$\psi ^{*}(x)$，並隨意地交換積分順序，這是物理學中常見的做法。

$\langle k\rangle =\int \!\int {\overline {\psi }}\,^{*}(k')\,k\,{\overline {\psi }}(k)\left[{\frac {1}{2\pi }}\int e^{i(k-k')x}dx\right]dk\,dk'.$

方括號中的表示式表示狄拉克的 δ 函式 $\delta (k-k'),$ 它的定義特徵是   $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$  對於任何連續函式 $f(x).$ （如果你沒注意到，這證明了要證的結論。）

海森堡

在 1926 年量子力學的同一個“奇蹟年”中，維爾納·海森堡 證明了所謂的 “不確定性”關係

$\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2.$

海森堡談到的是Unschärfe，它的字面意思是“模糊”，而不是“不確定”。由於關係 $\Delta x\,\Delta k\geq 1/2$ 是 $\psi (x)$ 和 ${\overline {\psi }}(k)$ 透過 傅立葉變換 互相關聯的事實，我們把證明留給數學家們。位置和動量的模糊關係透過 $p=\hbar k$ 得出。它表明，位置的模糊性（用 $\Delta x$  測量）和相應動量的模糊性（用 $\Delta p=\hbar \Delta k$  測量）必須使得它們的乘積至少等於 $\hbar /2.$