量子世界/嚴重疾病/薛定諤

薛定諤

如果電子是一個駐波，為什麼它應該被限制在一個圓圈裡？在德布羅意對粒子是某種波的關鍵洞察之後，成熟的量子理論不到三年就被發現，而且不止一次，而是兩次。1925 年由 維爾納·海森堡 和 1926 年由 埃爾溫·薛定諤 發現。如果我們讓電子成為三維空間中的駐波，我們就擁有了得到薛定諤方程所需的一切，薛定諤方程是成熟理論的核心。

讓我們保持在一個空間維度。一個 角波數 為 $k=2\pi /\lambda$ 和 角頻率 為 $\omega =2\pi /T=2\pi \nu$ 的波的最簡單數學描述（無論如何，如果你熟悉 複數）是函式

$\psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}.$

讓我們用電子的能量 $E=h\nu =\hbar \omega$ 和動量 $p=h/\lambda =\hbar k:$ 來表示 相位 $\phi (x,t)=kx-\omega t$:

$\psi (x,t)=e^{i(px-Et)/\hbar }.$

關於 $x$ 和 $t$ 的 偏導數 為

${\partial \psi \over \partial x}={i \over \hbar }p\psi \quad {\hbox{and}}\quad {\partial \psi \over \partial t}=-{i \over \hbar }E\psi .$

我們還需要 $\psi$ 關於 $x$ 的二階偏導數

${\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}=\left({ip \over \hbar }\right)^{2}\psi .$

因此我們有

$E\psi =i\hbar {\partial \psi \over \partial t},\quad p\psi =-i\hbar {\partial \psi \over \partial x},\quad {\hbox{and}}\quad p^{2}\psi =-\hbar ^{2}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}.$

在非相對論 經典物理學 中，動能 和動量 $p$ 之間透過 色散關係 相關聯

$E=p^{2}/2m.$

這種關係在非相對論量子物理學中也成立。稍後您將瞭解原因。

在三個空間維度中，$p$ 是向量 ${\textbf {p}}$ 的大小。如果粒子還有勢能 $V({\textbf {r}},t)$ 和勢動量 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t)$（在這種情況下它不是自由的），並且如果 $E$ 和 ${\textbf {p}}$ 分別代表粒子的總能量和總動量，那麼色散關係為

$E-V=({\textbf {p}}-{\textbf {A}})^{2}/2m.$

向量 ${\textbf {v}}$ 的平方指的是點積（或標量積） ${\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}$。稍後您將瞭解為什麼我們用諸如 $V({\textbf {r}},t)$ 和 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t).$ 這樣的場 來表示對粒子運動的可能影響。

回到我們只有一個空間維度的虛構世界，允許存在勢能 $V(x,t)$，將微分算符 $i\hbar {\partial \over \partial t}$ 和 $-\hbar ^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}$ 代入得到的色散關係中，分別對應於 $E$ 和 $p^{2}$，並將得到的算符方程的兩邊作用於 $\psi ,$ 我們便得到了（時間相關的）一維 **薛定諤方程**。

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+V\psi$

在三維空間中，同時存在勢能 $V({\textbf {r}},t)$ 和勢動量 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t)$，我們從關係 $E-V=({\textbf {p}}-{\textbf {A}})^{2}/2m,$ 出發，用 $i\hbar {\partial \over \partial t}$ 代替 $E$，用 $-i\hbar {\partial \over \partial {\textbf {r}}}$ 代替 ${\textbf {p}}.$ 微分運算元 ${\partial \over \partial {\textbf {r}}}$ 是一個向量，其分量是微分運算元 $\left({\partial \psi \over \partial x},{\partial \psi \over \partial y},{\partial \psi \over \partial z}\right).$ 結果是

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\partial \over \partial {\textbf {r}}}-{\textbf {A}}\right)^{2}\psi +V\psi ,$

其中 $\psi$ 現在是 ${\textbf {r}}=(x,y,z)$ 和 $t.$ 這就是三維的 **薛定諤方程**。在非相對論性的研究（薛定諤方程所侷限的）中，勢動量通常可以忽略，這就是為什麼 **薛定諤方程** 通常以這種形式給出。

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial z^{2}}\right)+V\psi$

自由 薛定諤方程（即使沒有勢能項）也滿足 $\psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}$（一維）或 $\psi ({\textbf {r}},t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$（三維），前提是 $E=\hbar {\omega }$ 等於 $p^{2}/2m=(\hbar k)^{2}/2m,$ 也就是說：$\omega (k)=\hbar k^{2}/2m.$ 然而，由於我們正在處理一個齊次線性微分方程——它告訴我們，解可以被新增和/或乘以任意常數以產生其他解——任何形式的函式

$\psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{i[kx-\omega (k)t]}dk={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int {\overline {\psi }}(k,t)\,e^{ikx}dk$

其中 ${\overline {\psi }}(k,t)={\overline {\psi }}(k)e^{-i\omega (k)t}$ 解決了（一維）薛定諤方程。如果未指定積分邊界，則我們在實數軸上積分，即積分被定義為極限 $\lim _{L\rightarrow \infty }\int _{-L}^{+L}.$ 反之亦然：每個解都是這種形式。積分前的因子純粹出於美觀的原因，正如你將立即意識到的那樣。 ${\overline {\psi }}(k,t)$ 是$\psi (x,t),$ 的傅立葉變換，這意味著

${\overline {\psi }}(k,t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int \psi (x,t)\,e^{-ikx}dx.$

$\psi (x,t)$ 的傅立葉變換存在，因為積分 $\int |\psi (x,t)|dx$ 是有限的。在 下一節 中，我們將瞭解這個積分為何有限的物理原因。

因此，我們現在得到了一個條件，即每個電子“波函式”必須滿足才能滿足相應的色散關係。如果該條件（以及薛定諤方程）包含 勢 ${\textbf {V}}$ 或 ${\textbf {A}}$ 中的一個或兩個，那麼求解可能會很困難。作為一個初出茅廬的量子力學研究者，你將花費大量時間學習如何求解具有各種勢的薛定諤方程。