量子世界/嚴重疾病/薛定諤

薛定諤

如果電子是駐波，為什麼它應該被限制在一個圓圈內？在德布羅意關鍵地認識到粒子是某種波之後，成熟的量子理論在不到三年的時間裡就被發現了，而且不止一次，而是兩次。由 維爾納·海森堡 在 1925 年發現，由 埃爾溫·薛定諤 在 1926 年發現。如果我們讓電子成為三維空間中的駐波，我們就擁有了推匯出薛定諤方程所需的一切，而薛定諤方程是成熟理論的核心。

讓我們先從一維空間開始。 角波數 $k=2\pi /\lambda$ 和 角頻率 $\omega =2\pi /T=2\pi \nu$（無論如何，如果你熟悉 複數）最簡單的數學描述是函式

$\psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}.$

讓我們用電子的能量 $E=h\nu =\hbar \omega$ 和動量 $p=h/\lambda =\hbar k:$ 來表示 相位 $\phi (x,t)=kx-\omega t$：

$\psi (x,t)=e^{i(px-Et)/\hbar }.$

關於 $x$ 和 $t$ 的偏導數為

${\partial \psi \over \partial x}={i \over \hbar }p\psi \quad {\hbox{and}}\quad {\partial \psi \over \partial t}=-{i \over \hbar }E\psi .$

我們還需要關於 $\psi$ 的二階偏導數關於 $x$

${\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}=\left({ip \over \hbar }\right)^{2}\psi .$

因此，我們有

$E\psi =i\hbar {\partial \psi \over \partial t},\quad p\psi =-i\hbar {\partial \psi \over \partial x},\quad {\hbox{and}}\quad p^{2}\psi =-\hbar ^{2}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}.$

在非相對論性經典物理學中，動能和動量 $p$ 之間透過色散關係相關聯

$E=p^{2}/2m.$

這種關係也適用於非相對論量子物理。稍後您將瞭解原因。

在三維空間中，$p$ 是向量 ${\textbf {p}}$ 的大小。如果粒子還具有勢能 $V({\textbf {r}},t)$ 和勢動量 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t)$（在這種情況下它不是自由的），以及如果 $E$ 和 ${\textbf {p}}$ 分別代表粒子的總能量和總動量，那麼色散關係為

$E-V=({\textbf {p}}-{\textbf {A}})^{2}/2m.$

向量的平方 ${\textbf {v}}$ 指的是 點積（或標量積） ${\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}$。稍後您將瞭解為什麼我們用諸如 $V({\textbf {r}},t)$ 和 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t).$ 這樣的 場 來表示對粒子運動的可能影響。

回到我們只有單一空間維度的虛擬世界，允許存在勢能 $V(x,t)$，將 微分算符 $i\hbar {\partial \over \partial t}$ 和 $-\hbar ^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}$ 代入得到的色散關係中的 $E$ 和 $p^{2}$，並將得到的算符方程的兩邊作用於 $\psi ,$ 我們得到了 一維（時間依賴） **薛定諤方程**

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+V\psi$

在三維空間中，同時存在勢能 $V({\textbf {r}},t)$ 和勢動量 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t)$，我們從關係式 $E-V=({\textbf {p}}-{\textbf {A}})^{2}/2m,$ 出發，將 $i\hbar {\partial \over \partial t}$ 代入 $E$，$-i\hbar {\partial \over \partial {\textbf {r}}}$ 代入 ${\textbf {p}}.$ 微分算符 ${\partial \over \partial {\textbf {r}}}$ 是一個向量，其分量是微分算符 $\left({\partial \psi \over \partial x},{\partial \psi \over \partial y},{\partial \psi \over \partial z}\right).$ 結果

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\partial \over \partial {\textbf {r}}}-{\textbf {A}}\right)^{2}\psi +V\psi ,$

其中 $\psi$ 現在是 ${\textbf {r}}=(x,y,z)$ 和 $t.$ 這就是三維的**薛定諤方程**。在非相對論研究中（薛定諤方程是有限制的），勢動量通常可以忽略不計，這就是為什麼薛定諤方程通常以這種形式給出

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial z^{2}}\right)+V\psi$

自由薛定諤方程（即使沒有勢能項）也滿足 $\psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}$（一維）或 $\psi ({\textbf {r}},t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$（三維），只要 $E=\hbar {\omega }$ 等於 $p^{2}/2m=(\hbar k)^{2}/2m,$ 也就是說：$\omega (k)=\hbar k^{2}/2m.$ 然而，由於我們正在處理一個 齊次線性微分方程 - 它告訴我們解可以相加或乘以任意常數以產生額外的解 - 任何形式的函式

$\psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{i[kx-\omega (k)t]}dk={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int {\overline {\psi }}(k,t)\,e^{ikx}dk$

其中 ${\overline {\psi }}(k,t)={\overline {\psi }}(k)e^{-i\omega (k)t}$ 解決了（一維）薛定諤方程。如果沒有指定積分邊界，那麼我們在 實數軸 上積分，也就是說，積分定義為極限 $\lim _{L\rightarrow \infty }\int _{-L}^{+L}.$ 反之亦然：所有解都是這種形式。積分前面的因子純粹出於美觀原因而存在，正如您現在將要認識到的。 ${\overline {\psi }}(k,t)$ 是 $\psi (x,t),$ 的 傅立葉變換，這意味著

${\overline {\psi }}(k,t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int \psi (x,t)\,e^{-ikx}dx.$

$\psi (x,t)$ 的傅立葉變換存在，因為積分 $\int |\psi (x,t)|dx$ 是有限的。在 下一節 中，我們將瞭解為什麼此積分是有限的。

因此，我們現在有一個條件，每個電子 “波函式” 必須滿足，以滿足適當的色散關係。 如果它（以及薛定諤方程）包含任何一個或兩個 勢 ${\textbf {V}}$ 和 ${\textbf {A}}$，那麼找到解可能很困難。 作為一名初露鋒芒的量子力學研究者，你將花費相當多的時間學習如何用各種勢來解薛定諤方程。