量子世界/嚴重疾病/誕生

誕生

在厄溫·薛定諤發表了以他命名的方程式的同一年，非相對論理論由馬克斯·玻恩的洞察力得以完善，他認為薛定諤波函式 $\psi (\mathbf {r} ,t)$實際上只是一個計算機率的工具，並且檢測到由$\psi (\mathbf {r} ,t)$ “描述” 的粒子在空間區域 $R$ 中的機率由體積積分 給出

$\int _{R}|\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r=\int _{R}\psi ^{*}\psi \,d^{3}r$

— 只要進行適當的測量，在本例中是對粒子在 $R$ 中存在的測試。由於在任何地方（無論在哪裡）找到粒子的機率必須是 1，因此只有平方可積 函式才能“描述”一個粒子。這排除了 $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} },$ 這不是平方可積的。換句話說，沒有粒子的動量能像 $\hbar$ 乘以 波矢 $\mathbf {k}$ 那樣鋒利，而不是由不同動量的真實機率分佈給出。

給定一個機率密度函式 $|\psi (x)|^{2}$，我們可以定義期望值

$\langle x\rangle =\int |\psi (x)|^{2}\,x\,dx=\int \psi ^{*}\,x\,\psi \,dx$

以及標準差 $\Delta x={\sqrt {\int |\psi |^{2}(x-\langle x\rangle )^{2}}}$

以及 $|\psi (x)|^{2}$ 的更高矩。同樣地，

$\langle k\rangle =\int {\overline {\psi }}\,^{*}\,k\,{\overline {\psi }}\,dk$  和  $\Delta k={\sqrt {\int |{\overline {\psi }}|^{2}(k-\langle k\rangle )^{2}}}.$

以下是另一個關於 $\langle k\rangle :$ 的表示式：

$\langle k\rangle =\int \psi ^{*}(x)\left(-i{\frac {d}{dx}}\right)\psi (x)\,dx.$

為了驗證這兩個表示式實際上是相等的，我們將  $\psi (x)=(2\pi )^{-1/2}\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{ikx}dk$  代入到後一個表示式中

$\langle k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \psi ^{*}(x)\left(-i{\frac {d}{dx}}\right)\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{ikx}dk\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \psi ^{*}(x)\int {\overline {\psi }}(k)\,k\,e^{ikx}dk\,dx.$

接下來，我們將 $\psi ^{*}(x)$ 替換為 $(2\pi )^{-1/2}\int {\overline {\psi }}\,^{*}(k')\,e^{-ik'x}dk'$  並隨意地交換積分的順序，這在物理學中很常見

$\langle k\rangle =\int \!\int {\overline {\psi }}\,^{*}(k')\,k\,{\overline {\psi }}(k)\left[{\frac {1}{2\pi }}\int e^{i(k-k')x}dx\right]dk\,dk'.$

方括號中的表示式代表狄拉克的delta 分佈 $\delta (k-k'),$，其定義特徵是 $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$，對於任何連續函式 $f(x).$（如果你沒有注意到，這就證明了要證明的東西。）

海森堡

在量子力學同樣輝煌的 1926 年，維爾納·海森堡 證明了所謂的“不確定性”關係

$\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2.$

海森堡談到了 *Unschärfe*，它的字面意思是“模糊”而不是“不確定”。由於關係 $\Delta x\,\Delta k\geq 1/2$ 是 $\psi (x)$ 和 ${\overline {\psi }}(k)$ 透過傅立葉變換 相互關聯的事實，我們把證明留給數學家。位置和動量的模糊關係遵循 $p=\hbar k$。它表明，位置的模糊性（用 $\Delta x$ 測量）和相應動量的模糊性（用 $\Delta p=\hbar \Delta k$ 測量）必須使得它們的乘積至少等於 $\hbar /2.$