費曼通往薛定諤的路線

在時間 $t_{2}$ 進行的測量可能結果的機率由薛定諤波函式 $\psi (\mathbf {r} ,t_{2})$ 決定。波函式 $\psi (\mathbf {r} ,t_{2})$ 透過薛定諤方程由 $\psi (\mathbf {r} ,t_{1}).$ 決定。是什麼決定了 $\psi (\mathbf {r} ,t_{1})$ ? 為什麼，在 $t_{1}$ 進行的測量的結果 - 還有什麼？實際的測量結果決定了可能測量結果的機率。

兩條規則

在本章中，我們將從兩個基本規則發展出量子力學機率演算法。首先，兩個定義

備選方案是測量結果的可能序列。
每個備選方案都與一個稱為振幅的複數相關聯。

假設你想要計算在給定先前測量實際結果的情況下，測量可能結果的機率。以下是你需要做的事情

選擇任何可能在中間進行的測量序列。
為每個備選方案分配一個振幅。
應用以下規則中的任何一個

規則 A：如果中間測量已進行（或如果可以從其他測量中推斷出它們的測量結果如果已進行會是什麼），首先將備選方案振幅的絕對值的平方，然後將結果相加。

規則 B：如果中間測量未進行（並且無法從其他測量中推斷出它們的測量結果會是什麼），首先將備選方案的振幅相加，然後將結果的絕對值的平方。

在後面的部分中，我們將探討這些規則對各種設定的影響，並思考它們的起源——它們的raison d'être。這裡我們將使用規則 B 來確定 ${\overline {\psi }}(k)$ 的解釋，給定 Born 對 $\psi (x)$ 的機率解釋。

在所謂的“連續體歸一化”中，具有尖銳動量 $\hbar k'$ 的粒子的非物理極限與波函式相關聯

\psi _{k'}(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \delta (k-k')\,e^{i[kx-\omega (k)t]}dk={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{i[k'x-\omega (k')t]}.

因此，我們可以寫成 $\psi (x,t)=\int {\overline {\psi }}(k)\,\psi _{k}(x,t)\,dk.$

${\overline {\psi }}(k)$ 是無限精確動量測量結果為 $\hbar k$ 的振幅。 $\psi _{k}(x,t)$ 是在無限精確動量測量結果為 $\hbar k$ 後，於時間 $t$ 進行無限精確位置測量，得到結果為 $x$ 的振幅。並且 $\psi (x,t)$ 是在時間 $t$ 進行無限精確位置測量，得到結果為 $x$ 的振幅。

因此，上述等式告訴我們，在時間 $t$ 找到 $x$ 的振幅是：

測量結果為 $\hbar k$ 的振幅乘以
在進行動量測量得到結果為 $\hbar k$ 後，於時間 $t$ 測量得到結果為 $x$ 的振幅，

對所有 $k$ 值求和。

在規則 A 規定的條件下，我們應該得到機率，即在時間 $t$ 找到 $x$ 是：

測量結果為 $\hbar k$ 的機率乘以
在進行動量測量得到結果為 $\hbar k$ 後，於時間 $t$ 測量得到結果為 $x$ 的機率，

對所有 $k$ 值求和。

根據標準機率理論，我們預期的是後者。但如果這在規則 A 規定的條件下成立，那麼在規則 B 規定的條件下，用“振幅”替換“機率”後，同樣成立。因此，鑑於 $\psi _{k}(x,t)$ 和 $\psi (x,t)$ 是在無限精確的位置測量中獲得結果 $x$ 的振幅， ${\overline {\psi }}(k)$ 是在無限精確的動量測量中獲得結果 $\hbar k$ 的振幅。

註釋

由於規則 B 規定實際上並未進行動量測量，因此我們無需擔心進行無限精確的動量測量的可能性。
如果我們將 $|\psi (x)|^{2}$ 稱為“獲得結果 $x,$ 的機率”，我們的意思是 $|\psi (x)|^{2}$ 積分在任何區間或實數軸的子集上的值，是我們找到粒子在這個區間或子集中的機率。

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