裝置 在這個實驗中，最終的測量結果（機率分配給其可能的輸出）是在背景幕上檢測到電子，由位於D 處的探測器檢測到（D 是x 的特定值）。初始測量結果，機率分配基於此結果，是電子槍G 發射電子。（由於我們假設G 是自由電子的唯一來源，因此在狹縫板後面檢測到電子也表明在狹縫板前面發射了電子。）可選的或可能的中間結果是
電子通過了左邊的縫隙 (L )，
電子通過了右邊的縫隙 (R )。 相應的振幅是 A L {\displaystyle A_{L}} A R . {\displaystyle A_{R}.}
為了計算它們，我們需要知道以下內容
A L {\displaystyle A_{L}} ⟨ D | L ⟩ {\displaystyle \langle D|L\rangle } ⟨ L | G ⟩ . {\displaystyle \langle L|G\rangle .} 同樣地， A R = ⟨ D | R ⟩ ⟨ R | G ⟩ . {\displaystyle A_{R}=\langle D|R\rangle \,\langle R|G\rangle .}
⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } A 和B 之間的距離 d ( B A ) {\displaystyle d(BA)} ⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } d ( B A ) . {\displaystyle d(BA).} 出於顯而易見的原因， ⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } 傳播子 。
回憶一下 模糊性（“不確定性”）關係 ，這意味著 Δ p → ∞ {\displaystyle \Delta p\rightarrow \infty } Δ x → 0. {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0.} A 的情況下，在 B 處發現粒子的機率取決於初始位置 A ，但不取決於任何初始動量，因為沒有初始動量。因此，粒子在 A 處被探測到後所做的任何事情都與它之前所做的無關。在機率論術語中，這意味著粒子從 G 到 L 的傳播與其從 L 到 D 的傳播是獨立事件。因此，透過 L 從 G 到 D 的傳播機率是相應機率的乘積，因此，透過 L 從 G 到 D 的傳播幅度是相應幅度的乘積 ⟨ D | L ⟩ ⟨ L | G ⟩ {\displaystyle \langle D|L\,\rangle \langle L|G\rangle }
想象一個（i）半徑為 r {\displaystyle r} A ，以及（ii）一個監測該球體表面單位面積的探測器。由於總表面積與 r 2 , {\displaystyle r^{2},} r 2 . {\displaystyle r^{2}.} 幅度 的絕對值（機率的平方根）與 r . {\displaystyle r.}
連續傳播子的可乘性意味著它們的相位的可加性。再加上這樣一個事實，即對於自由粒子，傳播子 ⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } A 和 B 之間的距離，這意味著 ⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } d ( B A ) . {\displaystyle d(BA).}
根據規則 A，在 G 處探測到從 D 發射的電子的機率為
p A ( D ) = | ⟨ D | L ⟩ ⟨ L | G ⟩ | 2 + | ⟨ D | R ⟩ ⟨ R | G ⟩ | 2 . {\displaystyle p_{A}(D)=|\langle D|L\rangle \,\langle L|G\rangle |^{2}+|\langle D|R\rangle \,\langle R|G\rangle |^{2}.} G 等距，則 ⟨ L | G ⟩ {\displaystyle \langle L|G\rangle } ⟨ R | G ⟩ {\displaystyle \langle R|G\rangle } p A ( D ) {\displaystyle p_{A}(D)}
| ⟨ D | L ⟩ | 2 + | ⟨ D | R ⟩ | 2 = 1 / d 2 ( D L ) + 1 / d 2 ( D R ) . {\displaystyle |\langle D|L\rangle |^{2}+|\langle D|R\rangle |^{2}=1/d^{2}(DL)+1/d^{2}(DR).} p A {\displaystyle p_{A}} x {\displaystyle x}
根據規則 A 預測的探測相對頻率 p A ( x ) {\displaystyle p_{A}(x)} L 的電子，另一個代表透過R 的電子。
根據規則 B，從G 發射的電子在D 被探測的機率 p B ( D ) {\displaystyle p_{B}(D)}
| ⟨ D | L ⟩ + ⟨ D | R ⟩ | 2 = 1 / d 2 ( D L ) + 1 / d 2 ( D R ) + 2 cos ( k Δ ) / [ d ( D L ) d ( D R ) ] , {\displaystyle |\langle D|L\rangle +\langle D|R\rangle |^{2}=1/d^{2}(DL)+1/d^{2}(DR)+2\cos(k\Delta )/[d(DL)\,d(DR)],} Δ {\displaystyle \Delta } d ( D R ) − d ( D L ) {\displaystyle d(DR)-d(DL)} k = p / ℏ {\displaystyle k=p/\hbar }
以下是根據 p B {\displaystyle p_{B}} x {\displaystyle x}
根據規則 B 預測的探測相對頻率 觀察到，在極小值附近，如果兩個狹縫都開啟，探測的機率比其中一個狹縫關閉時更低 。通常說干涉最小值處發生相消干涉，干涉最大值處發生相長干涉，但不要 將此視為物理過程的描述。我們所說的“相長干涉”僅僅是指根據規則 B 計算出的機率大於根據規則 A 計算出的相同機率，而我們所說的“相消干涉”僅僅是指根據規則 B 計算出的機率小於根據規則 A 計算出的相同機率。
以下是干涉圖樣隨時間變化的形成過程[ 1]
100 個電子
3000 個電子
20000 個電子
70000 個電子
↑ A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, & H. Ezawa, "Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern", American Journal of Physics 57 , 117-120, 1989.
![{\displaystyle |\langle D|L\rangle +\langle D|R\rangle |^{2}=1/d^{2}(DL)+1/d^{2}(DR)+2\cos(k\Delta )/[d(DL)\,d(DR)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9ae74f81ec3d5ec56339702289b5d7197b7333)
100 個電子
3000 個電子
20000 個電子
70000 個電子
