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為什麼能量是量子化的

再次將自己限制在一個空間維度上，我們將時間無關薛定諤方程寫成這種形式

${d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}=A(x)\,\psi (x),\qquad A(x)={2m \over \hbar ^{2}}{\Big [}V(x)-E{\Big ]}.$

由於這個方程除了可能 $\psi$ 本身之外不包含複數，它有實數解，而這些解正是我們感興趣的。你會注意到如果 $V>E,$ 那麼 $A$ 為正，而 $\psi (x)$ 與它的二階導數具有相同的符號。這意味著 $\psi (x)$ 圖形在 $x$ 軸上方向上彎曲，在下方向下彎曲。因此它不能穿過軸。另一方面，如果 $V<E,$ 那麼 $A$ 為負，而 $\psi (x)$ 與它的二階導數具有相反的符號。在這種情況下，$\psi (x)$ 的圖形在 $x$ 軸上方向下彎曲，在下方向上彎曲。結果，$\psi (x)$ 的圖形不斷穿過軸——它是一個波。此外，差值 $E-V,$ 越大，圖形的曲率越大；曲率越大，波長越小。用粒子的術語來說，動能越高，動量越大。

現在讓我們找到描述粒子“困”在勢阱中的解——束縛態。考慮這種勢

首先，觀察在 $x_{1}$ 和 $x_{2},$ 處，其中 $E=V,$，$\psi (x)$ 的斜率沒有變化，因為在這些點上， $d^{2}\psi (x)/dx^{2}=0$。這告訴我們，在這些點上，找到粒子的機率不會突然降至零。因此，可以在 $x_{1}$ 的左側或 $x_{2},$ 的右側找到粒子，而經典情況下是不可能發生的。（經典粒子會在這些點之間來回振盪。）

接下來，考慮由 $\psi (x)$ 定義的機率分佈必須是可歸一化的。對於 $\psi (x)$ 的圖形，這意味著它必須隨著 $x$ 漸近地逼近 $x$ 軸，即 $x\rightarrow \pm \infty .$

假設我們有一個特定值 $E.$ 的標準化解。如果我們增加或減少 $E,$ 的值，$\psi (x)$ 影像在 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之間的曲率也會增加或減少。一個小的增加或減少不會給我們另一個解：$\psi (x)$ 不會在正負 $x.$ 處都漸近地消失。為了得到另一個解，我們必須增加 $E$ 恰好合適的量，以便在 "經典" 轉折點 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之間增加或減少一個波節，並使 $\psi (x)$ 在兩個方向上再次漸近地消失。

底線是，束縛粒子的能量——被 "困" 在勢阱中的粒子——是 *量子化* 的：只有某些值 $E_{k}$ 可以產生時間無關薛定諤方程的解 $\psi _{k}(x)$。