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量子彈跳球

作為一個具體的例子，考慮以下勢能

$V(z)=mgz\quad {\hbox{if}}\quad z>0\quad {\hbox{and}}\quad V(z)=\infty \quad {\hbox{if}}\quad z<0.$

$g$ 是地面處的重力加速度。對於 $z<0,$，如上一節中給出的薛定諤方程告訴我們，$d^{2}\psi (z)/dz^{2}=\infty$，除非 $\psi (z)=0.$ 因此，對於負 $z$ 的唯一合理的解是 $\psi (z)=0.$ 要求 $V(z)=\infty$ 對於 $z<0$ 確保了我們完美的彈性、無摩擦的量子彈跳器不會被發現在地板以下。

因為一圖勝千言，我們不會針對這個特定的勢能求解時間無關的薛定諤方程，而只是繪製其前八個解

在相同的勢能作用下，經典的彈跳球會在哪裡反向運動？觀察位置和動量（波數）之間的相關性。

所有這些狀態都是穩態；在 $z$ 軸的任何特定區間內找到量子彈跳器的機率與時間無關。那麼我們如何讓它運動呢？

回想一下，薛定諤方程的任何線性組合都是另一個解。考慮這兩個穩態的線性組合

$\psi (t,x)=A\,\psi _{1}(x)\,e^{-i\omega _{1}t}+B\,\psi _{2}(x)\,e^{-i\omega _{2}t}.$

假設係數 $A,B$ 和波函式 $\psi _{1}(x),\psi _{2}(x)$ 是實數，我們計算與 $\psi (t,x)$ 相關的粒子的平均位置

$\int \!dx\,\psi ^{*}x\psi =\int \!dx\,(A\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+B\psi _{2}e^{i\omega _{2}t})\,x\,(A\psi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+B\psi _{2}e^{-i\omega _{2}t})$

$=A^{2}\int \!dx\,\psi _{1}^{2}\,x+B^{2}\int \!dx\,\psi _{2}^{2}\,x+AB(e^{i(\omega _{1}-\omega _{2})t}+e^{i(\omega _{2}-\omega _{1})t})\int \!dx\,\psi _{1}x\psi _{2}.$

前兩個積分分別表示與$\psi _{1}(x)\,e^{i\omega _{1}t}$ 和 $\psi _{2}(x)\,e^{i\omega _{2}t},$ 相關的粒子的（與時間無關的）平均位置。最後一項等於

$2AB\cos(\Delta \omega \,t)\int \!dx\,\psi _{1}x\psi _{2},$

這告訴我們，粒子的平均位置以頻率 $\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$ 和振幅 $2AB\int \!dx\,\psi _{1}x\psi _{2}$ 在前兩項之和附近振盪。

訪問此網站以觀察與最初與高斯分佈相關的量子彈跳球相關的機率分佈的時間依賴性。