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量子彈跳球

作為一個具體的例子，考慮以下勢能

$V(z)=mgz\quad {\hbox{if}}\quad z>0\quad {\hbox{and}}\quad V(z)=\infty \quad {\hbox{if}}\quad z<0.$

$g$ 是地板上的重力加速度。對於 $z<0,$，薛定諤方程如 上一節 所示，告訴我們 $d^{2}\psi (z)/dz^{2}=\infty$ 除非 $\psi (z)=0.$ 因此，對於負的 $z$，唯一合理的解是 $\psi (z)=0.$ 要求 $V(z)=\infty$ 對於 $z<0$ 確保了我們的完美彈性、無摩擦的量子彈跳器不會被發現在地板以下。

由於一圖勝千言，我們不會為這個特定的勢能求解時間無關薛定諤方程，而是簡單地繪製其前八個解

在相同的勢能下，經典的彈跳球會在哪裡改變其運動方向？觀察位置和動量（波數）之間的相關性。

所有這些狀態都是穩態的；在 $z$ 軸的任何特定區間內找到量子彈跳器的機率與時間無關。那麼我們如何讓它運動呢？

回想一下，薛定諤方程的任何線性組合都是另一個解。考慮兩個穩態的這種線性組合

$\psi (t,x)=A\,\psi _{1}(x)\,e^{-i\omega _{1}t}+B\,\psi _{2}(x)\,e^{-i\omega _{2}t}.$

假設係數 $A,B$ 和波函式 $\psi _{1}(x),\psi _{2}(x)$ 是實數，我們計算與 $\psi (t,x)$ 相關的粒子的平均位置。

$\int \!dx\,\psi ^{*}x\psi =\int \!dx\,(A\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+B\psi _{2}e^{i\omega _{2}t})\,x\,(A\psi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+B\psi _{2}e^{-i\omega _{2}t})$

$=A^{2}\int \!dx\,\psi _{1}^{2}\,x+B^{2}\int \!dx\,\psi _{2}^{2}\,x+AB(e^{i(\omega _{1}-\omega _{2})t}+e^{i(\omega _{2}-\omega _{1})t})\int \!dx\,\psi _{1}x\psi _{2}.$

前兩個積分分別是與 $\psi _{1}(x)\,e^{i\omega _{1}t}$ 和 $\psi _{2}(x)\,e^{i\omega _{2}t},$ 相關的粒子的（與時間無關的）平均位置。最後一項等於

$2AB\cos(\Delta \omega \,t)\int \!dx\,\psi _{1}x\psi _{2},$

這告訴我們粒子的平均位置以頻率 $\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$ 和振幅 $2AB\int \!dx\,\psi _{1}x\psi _{2}$ 在前兩項的總和附近振盪。

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