傳統算盤與珠算/附錄：簡化運算

簡介

本章的內容與傳統算盤方法沒有直接關係，但它是一種有趣的資源，可以縮短算盤和書面計算中的算術運算。我們把它列入本書，因為我們在整本書中零星地使用了這些簡化運算。

一些計算機時代前的算術書籍包括一個關於簡化運算的章節。其動機如下。假設我們測量一個正方形的邊長，得到 ${\textstyle l=864\,{\text{mm}}}$ ，我們想要計算它的面積 ${\textstyle S}$

$S={l}^{2}=l\cdot l=864\cdot 864=746496\,{\text{mm}}^{2}$

結果為 6 位數，但如果我們用只能精確到毫米的捲尺測量正方形的邊長，那麼我們可以說邊長的值介於 ${\textstyle 863.5}$ 和 ${\textstyle 864.5}$ 之間，即

$l=864.0\pm 0.5\,{\text{mm}}$

因此 ${\textstyle S}$ 將是一個介於 ${863.5}^{2}=745632.25$ 和 ${864.5}^{2}=747360.25$ 之間的值。這意味著我們只確定結果 S 的前兩位數字 (74)，第三位數字可能是 6；乘法的其餘數字是無意義的（我們說它們不顯著），我們不應該將它們包含在我們的結果中。我們應該寫

$S=746\cdot {10}^{3}\,{\text{mm}}^{2}=7.46\cdot {10}^{5}\,{\text{mm}}^{2}$

其中 ${\textstyle 746}$ 是我們結果的有效數字。所以如果乘積 ${\textstyle 864\cdot 864}$ 中只有三個中的六個數字是有效的，為什麼要計算所有六個數字呢？這就是簡化運算的用處。

在本章中，我們將遵循安東尼諾·戈德·穆爾^[1] 的數學中出現的例子，以下簡稱數學，這本西班牙小手冊，並看看這些計算如何在算盤上完成。

乘法

用被乘數乘以乘數的第一位數，再在下面用被乘數去掉最後一位數乘以乘數的第二位數，再在下面用被乘數去掉最後兩位數乘以乘數的第三位數，以此類推。
——翻譯自數學

數學中的示例

在算盤上，這個問題可以用多種方法解決，例如，使用小島的從乘數和被乘數最高位開始的乘法，在他的第二本書^[2] 中解釋，他寫道

由於運算從乘數和被乘數的第一位數相乘開始，因此它對於近似值很方便。

我們也可以嘗試多因子乘法^[3] 等等；例如

6666x1375
算盤	評論
ABCDEFGHIJKLM
6665 1375	設定問題
. .	單位杆
-1	清除 J
+6665	將 1✕6665 加到 G-J
6665 6665375
+18	將 3✕6 加到 GH
+18	將 3✕6 加到 HI
+18	將 3✕6 加到 IJ
-3	清除 K
+15	將 3✕5 加到 JK
6665 8664575
666 8664575	清除 D
+42	將 7✕6 加到 HI
+42	將 7✕6 加到 IJ
+42	將 7✕6 加到 JK
-7	清除 L
666 91307 5
66 91307 5	清除 C
+30	將 5✕6 加到 IJ
+30	將 5✕6 加到 JK
-5	清除 M
66 91637	結果
. .	單位杆
9164	四位數舍入後的結果

但我們也可以使用從最後一個被乘數數字開始的乘法方法，就像現代乘法一樣

6666x1375 現代乘法
算盤	評論
ABCDEFGHIJKLM
6665 1375	設定問題
+330	將 5✕66 加到 K-M
-5	清除 J
6665 137 330
+4662	將 7✕666=4662 加到 J-M
-7	清除 I
6665 13 4992
+19995	將 3✕6665=19995 加到 I-M
-3	清除 H
6665 1 24987
+6665	將 1✕6665=6665 加到 H-L
-1	清除 G
6665 91637	結果
6665 9164	四位數舍入後的結果

甚至傳統的乘法，先清除，然後將部分積向左移一位

6666x1375 傳統乘法
算盤	評論
ABCDEFGHIJKL
6665 1375	設定問題
-5	清除 J
+330	將 5✕66 加到 J-L
6665 137330
-7	清除 I
+4662	將 7✕666=4662 加到 I-L
6665 134992
-3	清除 H
+19995	將 3✕6665=19995 加到 H-L
6665 124987
-1	清除 G
+6665	將 1✕6665=6665 加到 G-K
6665 91637	結果
6665 9164	四位數舍入後的結果

除法

商的第一個數字照常找到，餘數除以除數去掉其最後一個數字，新的餘數除以除數去掉其最後兩個數字，依此類推。
——翻譯自數學

數學中的示例

4567.8 \|95.62 743.00 —————— 73.660 47.77 6.7250 .0326	4567.8 \|95.62 743.0 —————— \|95.6 73.8 4 ————— \|95 7.3 7 ——— \|9 .1 7 —— 8
正常操作	簡化操作

可以看出，原本無限長的長除法步驟序列，其中得到商的新數字，被有限長度的除以縮減除數的序列取代，我們只得到商的一個數字。這可以使用我們最喜歡的除法方法來完成；例如，使用傳統除法和傳統除法排列

4567.8/95.62
算盤	評論
ABCDEFGHIJ
9562 45678
. .	單位杆
-4	規則：4/9>4+4
+44
9562 49678
-20	從 GH 減去 4x5
-24	從 HI 減去 4x6
-8	從 IJ 減去 4x2
9562 47430
-7	規則：7/9>7+7
+77
9562 47130
-35	從 HI 減去 7x5
-42	從 IJ 減去 7x6
9562 47738
-7	規則：7/9>7+7
+77
9562 47708
-35	從 IJ 減去 7x5
9562 47773
-7	規則：7/9>7+7
+77
9562 47770
+1	向上修正
-7
9562 47783
. .	單位杆

平方根

當前方法一直執行到根的數字的一半被超過，然後透過用找到的根的兩倍除以餘數，後面跟著未使用的位數，再跟著與位數相同的零，得到下一個數字。
——翻譯自數學

😖 很難讀，對吧？西班牙語也是……

來自 Matemáticas 的例子

123456789 的平方根

  __________      
\/123456789| 11111 
           |-------
 -1        |              
 --        |       
  023      | 21x1  
  -21      |       
  ---      |       
   0245    | 221x1 
   -221    |       
   ----    |       
    02467  | 2221x1
    -2221  |       
    -----  |       
     024689| 22221x1 
     -22221|         
     ------|        
      02468|

  ______
\/12345 |111
        |---
 -1     |              
 --     |
  023   |21x1
  -21   |
  ---   |
   0245 |221x1
   -221 |
   ---- |
    024 |  -->   246789|22200
                       ------
                  24789 11
                   2589
         _________
 ==>   \/123456789 = 11111

正常操作

簡化操作

{\textstyle {\sqrt {123456789}}=11111.11106\cdots }

不詳細說明，這種簡化平方根獲取的方法可以用幾種方法來證明，例如使用泰勒級數展開或牛頓法，也許不是最簡單的方法，但值得一提，尤其是對於下面關於立方根的內容。

以下將使用半九九法 (半九九法) 來演示這個過程，如平方根章節中所述，這需要將餘數改為半餘數，將根的兩倍改為 Matemáticas 段落中的根。請注意，第二階段，即除法，可以以簡化除法的形式進行，因為從其商中只得到有限數量的數字是有意義的。因此，從根中獲得最後幾位數字的工作量和時間成本會逐漸降低；所以我們可以將這種除法稱為根提取的加速階段。

123456789 的平方根半九九法 (*hankukuhou*)
算盤	評論
ABCDEFGHIJ
123456789	按常規設定問題
23456789	從第一組中減去 1 的平方
117283945	將餘數減半
1 117283945	將 1 作為第一個根數字輸入 A
11 17283945	B 中的新根數字 1（向上修正）
-1
-5	從 D 中減去 1 平方的一半
11 12283945
111 2283945	C 中的新根數字 1（向上修正）
-11
-5	從 F 中減去 1 平方的一半
111 1233945	現在第二階段或加速階段開始
+1	將 111 除以 123
-111
1111 123945
+1	將 11 除以 12
-11
11111 13945	完成，我們現在有 5 個根數字！

立方根

當前方法一直執行到根的數字的一半被超過，然後透過用根的平方的三倍除以餘數，後面跟著未使用的位數，再跟著與位數相同的零，得到下一個數字。
——翻譯自數學

😖😖

來自 Matemáticas 的例子

3_____________ \/1234567890123\|10727 ------	3_____________ \/1234567890123\|107 9524 ---- 9524890123 \|3434700 -------- 2655490 27 2512001
正常操作	簡化操作

這種簡化也可以用幾種方法來證明，包括牛頓法，順便說一下，它也是使用算盤獲得立方根的最佳近似值^[4]，雖然這不是傳統技術，但它比任何傳統方法都高效得多，如果我們使用它，可以說，在某種意義上，我們從一開始就在使用簡化方法。儘管如此，這裡有一個使用傳統方法的例子：666 的立方根。我們將遵循 Cargill G. Knott^[5] 解釋的方法（參見：立方根）。

顯然，666 的立方根在 8 和 9 之間，因為這個數字在 512-728 的範圍內。

666 的立方根
算盤	評論
ABCDEFG
666	在 BCD 中輸入 666
+	(單位杆)
-512	從 BCD 中減去 83=512
154
8154	在 A 中輸入 8。將 B-F 除以 8（A）
8192500	將 B-F 除以 3
8641662	將 B 除以 8（A）
8781662	從 CD 中減去 B2=49
8732662	將 C-F 乘以 3，得到 C-G
87 9800	將 C-F 乘以 8（A），得到 C-G
87 7840	從 EFG 中減去 B3=343
87 7497	根 8.7，餘數 7.497

所以我們已經得到了 8.7 作為目前的根，餘數為 7.497。為了應用快捷方式，我們需要形成除數 $3\times 8.7^{2}$ ；我們將使用牛頓二項式展開來形成平方，並將透過新增兩次獲得的值來將其乘以三。

標題文字
算盤	評論
ABCDEFGHIJKLM
87 7497	8.7 的平方
+49
-112
+64
87 7497 7569	乘以 3
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707	繼續將 7.497 除以 227.07（可以簡化！）
8733----22707	只獲取商的兩位數

或者，您也可以分別用 8.7 和 3 除兩次，得到相同的結果。比較結果 8.733 和 3666=8,7328917

其他有用的縮寫

下面介紹一種完全不同的簡化計算方法，在實際應用中可能會有用。這些方法都是泰勒定理的推論。

對於 $a,b\ll 1$

$(1\pm a)(1\pm b)\approx 1\pm a\pm b$ $(1\pm a)(1\pm b)\approx 1\pm a\pm b$
- 例如： $1.005\times 0.996\approx 1.001$
$(1\pm a)/(1\pm b)\approx 1\pm a\mp b$
$(1\pm a)^{n}\approx 1+n\cdot a$ $(1\pm a)^{n}\approx 1+n\cdot a$
- 例如： $1.005^{3}\approx 1.015,\,0.995^{3}\approx 0.985$
${\sqrt[{n}]{1\pm a}}\approx 1\pm a/n$ ${\sqrt[{n}]{1\pm a}}\approx 1\pm a/n$
- 例如： ${\sqrt[{3}]{1.006}}\approx 1.002$
$1/(1\pm a)\approx 1\mp a$ $1/(1\pm a)\approx 1\mp a$
- 例如： $1/1.003\approx 0.997,\,1/0.997\approx 1.003$
$1/(1\pm a)^{n}\approx 1\mp n\cdot a$
...

參考資料

↑ Goded Mur, Antonino (1945). Matemáticas (in Spanish). Zaragoza (Spain): Compendios CHOP. pp. 20–26. {{cite book}}: Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (help)
↑ 小島隆 (1963)，珠算進階：理論與實踐，東京：查爾斯·E·塔特爾公司，ISBN 978-0-8048-0003-7
↑ Tejón，費爾南多； Heffelinger，託頓 (2005). "多因子乘法". 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. 存檔於原文於 2021 年 8 月 1 日. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略（建議使用 |access-date=）（幫助)
↑ 卡布雷拉，耶穌 (2021). "牛頓法在算盤上的應用；平方根、立方根和五次根". jccAbacus. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略（建議使用 |access-date=）（幫助)
↑ 卡吉爾·吉爾頓·諾特 (1886), "算盤及其歷史與科學方面的研究", 日本亞洲學會會刊, 14: 18–73

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首頁：傳統算盤與珠算

[1] Goded Mur, Antonino (1945). Matemáticas (in Spanish). Zaragoza (Spain): Compendios CHOP. pp. 20–26. {{cite book}}: Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (help)

[2] 小島隆 (1963)，珠算進階：理論與實踐，東京：查爾斯·E·塔特爾公司，ISBN 978-0-8048-0003-7

[3] Tejón，費爾南多； Heffelinger，託頓 (2005). "多因子乘法". 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. 存檔於原文於 2021 年 8 月 1 日. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略（建議使用 |access-date=）（幫助)

[4] 卡布雷拉，耶穌 (2021). "牛頓法在算盤上的應用；平方根、立方根和五次根". jccAbacus. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略（建議使用 |access-date=）（幫助)

[5] 卡吉爾·吉爾頓·諾特 (1886), "算盤及其歷史與科學方面的研究", 日本亞洲學會會刊, 14: 18–73

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6665 x 1375 ——————— 33325 46655 19995 6665 ——————— 9164375	6665 x 1375 ———— 6665 1999 466 33 ———— 9163
普通運算	簡化運算