傳統算盤和珠算/乘法

有多少種乘法方法？

讓我們舉個例子: $345\times 6789=2342205$ . 我們透過將展開式中產生的12個部分積相加來進行乘法

$345\times 6789=(300+40+5)\times (6000+700+80+9)=300\times 6000+300\times 700+\cdots +5\times 9$

也就是說，此表中列出的所有乘積

345✕6789的部分積
✕	6000	700	80	9
300	1800000	210000	24000	2700
40	240000	28000	3200	360
5	30000	3500	400	45

但這些乘積可以以 ${\textstyle 12!}$ (12階乘) ${\textstyle =1\times 2\times 3\times \cdots \times 12=479\,001\,600}$ 種排序方式，所以我們可以說，至少有近5億種方法可以計算出這兩個給定數字的乘積。

但很明顯，在這數量龐大的按順序新增部分積的方法中，只有少數方法才能由人腦有效、安全地生成和跟蹤。但這些少數方法仍然很多……尤其是當我們考慮到我們也可以選擇是否將被乘數和乘數輸入算盤，以及相對於這些運算元從哪裡開始新增部分積。在下面，我們將重點關注最後一個方面。

逆運算

加法和減法是逆運算，因為它們互相抵消，將結果還原為第一個運算元；例如: $422+313=735$ 現在減去 $735-313=422$ . 在算盤上

透過減法逆轉加法
算盤	評論
ABC
422
+3	將313加到ABC
+1
+3
735	結果
-3	將313減去ABC
-1
-3
422	結果還原

我們可以看到，我們不僅得到了起始值，而且還得到了它在原始位置的值。反過來，乘法和除法也是逆運算；即: 如果 $a/b=q,r$ 其中 $q$ 是 $a$ 除以 $b$ 的商，而 $r$ 是餘數，我們可以以以下形式逆轉操作: $a=q\times b+r$ 例如: $4727/72=65,47$ 其中65是商，47是餘數，我們可以以以下形式逆轉操作 $4727=65\times 72+47$ . 在算盤上，使用現代除法和乘法方法

4727÷72，現代方法
算盤	評論
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	被除數:F-I，除數:AB
72 64727	嘗試6作為中間商
-42	將6✕7=42從FG中減去
-12	將6✕2=12從GH中減去
72 6 407
72 65407	嘗試5作為中間商
-35	將5✕7=35從GH中減去
-10	從 HI 中減去 5✕2=10
72 65 47	停止：商 = 65，餘數 = 47
72 65 47	透過乘法恢復
+35	將 5✕7=35 加到 GH
+10	將 5✕2=10 加到 HI
72 65407
72 6 407	清除 F
+42	將 6✕7=42 加到 FG
+12	將 6✕2=12 加到 GH
72 64727	清除 E
72 4727	完成！

我們已經逆轉了操作，並將算盤恢復到其原始狀態。請注意運算元和結果使用現代方法的相對位置

運算元和結果的相對位置（現代方法）
算盤	評論
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	除數和被除數
72 65 47	除數：AB，商：EF 和餘數：HI

現在讓我們嘗試使用傳統的除法方法（TD）和傳統的除法排列（TDA）進行相同的操作。

4727÷72，傳統方法
算盤	評論
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	被除數:F-I，除數:AB
72 5227	規則：4/7>5+5（溢位！)
-10	從 GH 中減去 5✕2=10
72 5127
+1	向上修改 F
-72	從 GH 中減去 72
72 6407
72 6557	規則：4/7>5+5
-10	從 HI 中減去 5✕2=10
72 6547	停止：商 = 65，餘數 = 47

現在，運算元和結果使用傳統方法的相對位置不同

運算元和結果的相對位置（傳統方法）
算盤	評論
ABCDEFGHI	4727÷72
72 4727	除數和被除數
72 6547	除數：AB，商：FG 和餘數：HI

如果我們想透過乘法逆轉操作，我們可以首先透過記住要使用的被乘數的數字並將其清除來進行，然後我們將繼續新增部分積

使用 TDA 逆轉傳統除法
算盤	評論
ABCDEFGHI
72 6547	透過乘法恢復
72 6 47	清除 G 並記住 5
+35	將 5✕7=35 加到 GH
+10	將 5✕2=10 加到 HI
72 6407
72 407	清除 F 並記住 6
+42	將 6✕7=42 加到 FG
+12	將 6✕2=12 加到 GH
72 4727	完成！

我們也已經逆轉了操作，並將算盤恢復到其原始狀態。透過這種方式，我們與現代乘法完全相同地進行操作，之前釋放並重復使用被乘數中正在使用的數字所佔用的空間。但是，在使用算盤時記住並儲存一些東西在記憶體中會為錯誤開啟大門，並且希望透過嘗試將數字在記憶體中保留儘可能短的時間來最大限度地減少這種可能性。透過更改新增部分積的順序可以實現這一點

介紹傳統乘法
算盤	評論
ABCDEFGHI
72 6547	透過乘法恢復
+10	將 5✕2=10 加到 HI
+35	清除 G 並將 5✕7=35 加到 GH
72 6407
72 407	清除 F 並記住 6
+12	將 6✕2=12 加到 GH
+42	清除 F 並將 6✕7=42 加到 FG
72 4727	完成！

正如我們所見，我們已經將清除正在使用的數字推遲到最後時刻。這是傳統乘法方法的基礎。

傳統乘法方法

傳統乘法方法首先使用算籌^[1]引入，向現代算盤使用者介紹它的最佳方法是考慮一個多位乘數由一個頭部（最左邊的第一個數字）和一個主體（其餘數字）組成；例如：4567✕23，將 4567 視為乘數，其頭部為 4，主體為 567。因此，對於被乘數的每個數字（從右到左）

按照現代乘法中的步驟，計算被乘數數字與乘數主體相乘的積
然後清除當前被乘數的數字，並將它與乘數頭部相乘的積加到剛剛清除的列和它右側相鄰的列中

4567✕23 傳統方法
算盤	評論
ABCDEFGHIJKL	被乘數：FG，乘數：A-D
4567 23	頭部：A (4)，主體：BCD (567)
+15	將 3✕5=15 加到 IJ
+18	將 3✕6=18 加到 JK
+21	將 3✕5=21 加到 KL
+12	清除 H 並將 3✕4=12 加到 HI
4567 213701
+10	將 2✕5=10 加到 HI
+12	將 2✕6=12 加到 IJ
+14	將 2✕7=14 加到 JK
+08	清除 G 並將 3✕4=12 加到 GH
4567 10F041	完成！^a

注意：^a 如果使用第五個下珠，結果為 10F041；否則為 105041。

但是事情並不總是像前面的例子那樣簡單；如果被乘數和乘數都包含高位數字（7、8、9），我們可能會遇到溢位問題，需要處理它們（參見章節：處理溢位），例如 999✕999=998001

999✕999 傳統方法
算盤	評論
ABCDEFGHIJK	被乘數：A-C，乘數：I-K
999 999	頭部：I (9)，主體：JK (99)
+81	將 9✕9=81 加到 DE
+81	將 9✕9=81 加到 EF
+81	清除 C 並將 9✕9=81 加到 CD
998991 999
+81	將 9✕9=81 加到 CD
+81	將 9✕9=81 加到 DE
+81	清除 B 並將 9✕9=81 加到 BC
988901 999	(溢位！)
+81	將 9✕9=81 加到 BC
+81	將 9✕9=81 加到 CD
+81	清除 A 並將 9✕9=81 加到 AB
888001 999	(雙重溢位！)
998001 999	歸一化結果，完成！

最方便的方法，與除法一樣，是使用額外的上珠，即 5+2 型算盤，或者如果我們足夠幸運的話，可以使用 5+3 型算盤。對於 4+1 和 5+1 型算盤，最好使用以下方法回退到上一節中概述的方法，在開始時（或必要時）清除被乘數的當前數字，以便有空間儲存部分結果；例如

999✕999 傳統方法（4+1 和 5+1 型算盤的回退方法）
算盤	評論
ABCDEFGHIJK	被乘數：A-C，乘數：I-K
999 999
+81	清除 C，記住 9 並將 9✕9=81 加到 CD
+81	將 9✕9=81 加到 DE
+81	將 9✕9=81 加到 EF
998991 999
+81	清除 B，記住 9 並將 9✕9=81 加到 BC
+81	將 9✕9=81 加到 CD
+81	將 9✕9=81 加到 DE
998901 999
+81	清除 A，記住 9 並將 9✕9=81 加到 AB
+81	將 9✕9=81 加到 BC
+81	將 9✕9=81 加到 CD
998001 999

如果你練習前面的例子以及兩個傳統的練習：898✕989，使用 898 作為乘數和被乘數，你將為任何傳統的乘法問題做好準備。

乘法中的 123456789 練習

參考資料

↑ Volkov, Alexei (2018), "Visual Representations of Arithmetical Operations Performed with Counting Instruments in Chinese Mathematical Treatises", Researching the History of Mathematics Education - An International Overview, Springer Publishing, ISBN 978-3-319-68293-8 {{citation}}: Unknown parameter |editor1first= ignored (|editor-first1= suggested) (help); Unknown parameter |editor1last= ignored (|editor-last1= suggested) (help); Unknown parameter |editor2first= ignored (|editor-first2= suggested) (help); Unknown parameter |editor2last= ignored (|editor-last2= suggested) (help)

進一步閱讀

Kojima, Takashi (1963), "III Other multiplication methods", Advanced Abacus: Theory and Practice, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0003-7

Totton Heffelfinger (2004). "Traditional Multiplication techniques for Chinese Suan Pan - The Extra Bead and the Suspended Bead". 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archived from the original on August 1, 2021. {{cite web}}: Unknown parameter |accesdate= ignored (|access-date= suggested) (help)

Totton Heffelfinger (2013). "算盤與單位杆 - 乘法". 算盤 Abacus: 珠算之謎. 存檔於原始位置於 2021 年 8 月 1 日. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助)

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[1] Volkov, Alexei (2018), "Visual Representations of Arithmetical Operations Performed with Counting Instruments in Chinese Mathematical Treatises", Researching the History of Mathematics Education - An International Overview, Springer Publishing, ISBN 978-3-319-68293-8 {{citation}}: Unknown parameter |editor1first= ignored (|editor-first1= suggested) (help); Unknown parameter |editor1last= ignored (|editor-last1= suggested) (help); Unknown parameter |editor2first= ignored (|editor-first2= suggested) (help); Unknown parameter |editor2last= ignored (|editor-last2= suggested) (help)

[1]

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