傳統算盤珠算/除法/處理溢位
除了所謂的“特殊方法”之外，還有兩種基本的方法來安排一般的除法問題。由於沒有標準的名稱來稱呼它們，我們在本章中將它們稱為：傳統除法指南
- 現代除法排列 (MDA)，正如小島解釋的那樣[1],
| 算盤 | 評論 |
|---|---|
| ABCDEF | |
| 5 25 | 被除數從 E 開始 |
| 5 5 | 除法後商從 D 開始 |
| 算盤 | 評論 |
|---|---|
| ABCDEF | |
| 5 25 | 25÷5=5 被除數從 E 開始 |
| 5 5 | 除法後商從 E 開始 |
MDA 似乎適用於任何除法方法；不僅是現代和傳統方法，而且還適用於任何可以想象到的方法，閱讀類似於：整數長除法的終極高等數學指南[4]的頁面，並僅使用 4+1 (現代) 算盤的珠子。相反，TDA 在任何除法方法中都存在問題，因為除數和被除數/餘數之間經常會發生衝突，也就是說，兩者都需要同時使用同一列，而原則上這是不可能的，例如，在現代除法的情況下，我們將被迫將中間商數字的輸入推遲到算盤上，直到相應的列透過減法清除。結果，需要特殊的技巧或算盤來應對這種衝突。即使如此，TDA 幾個世紀以來一直與傳統的除法方法結合使用，而 MDA 似乎直到現代才被廢棄，直到現代算盤的採用，即使 MDA 是我們嘗試將用計數杆使用的老除法方法 (矛盾的是 MD!) 適應到單行而不是通常的三行時首先想到的想法。為什麼？這可能永遠成為一個謎。然而，TDA 的某些優點必須得到承認。
- 它使用少一根杆
- 結果不會像 MDA 那樣向左移動太多，這對於鏈式操作來說很有用。這一點和上面提到的幾點使得 TDA 更適合於小杆數算盤，比如傳統的 13 杆算盤/算盤。
- 它可以節省一些手指的動作；例如，在操作 6231÷93=67 時使用傳統 (中文) 除法，使用 TDA 可以計算出 14 個手指的動作，而使用 MDA 則需要 24 個。
- 手部位移較短。
- 由於跳過的杆子較少，因此不容易出錯。
這些足以證明它在歷史上被使用嗎？
關於使用 TDA 的傳統除法 (Guī chúfǎ, Kijohou 帰除法)，避免上述衝突的方法是接受，在應用中國除法規則後，被除數/餘數的第一列可以溢位，並暫時接受大於 9 的值 (最大為 18)，同時提供一些機制來處理這種溢位。對於傳統的 5+2 或 5+3 算盤來說，這不是問題；正如已經解釋過的，額外的上珠可以用在算盤的一列中儲存高達 20 的值。問題出現在我們認為 5+1 型算盤在江戶時代很流行於日本，而且似乎沒有古代日本文字解釋如何處理溢位。這就是問題：在 5+1 或 4+1 算盤上能做些什麼呢？
在算盤和算盤小組的一個帖子中，一位成員展示了兩個使用撇號 (‘) 來標記暫時接收大於 9 的值 (溢位) 的列或杆的傳統除法示例[5]。
| 算盤 | 評論 |
|---|---|
| ABC abcdef | |
| 898 888122 | 見八無頭作九八（Div. table）... |
| 898 9'68122 | 九九八十一引（Mul. table）... |
| ... | ... |
撇號對算盤的列在過程表中的垂直對齊造成了障礙，但讓我們把這個撇號想象成一個小 1 (¹) 的排版表示，這個珠子應該被推到、設定或啟用到某個地方，無論是在真實的還是想象的列上。請注意，如果我們可以在撇號的位置開啟或插入一列新的列（正如在任何電子表格中通常所做的那樣），我們所有的問題都會透過使用新的列來接收珠子而消失，但這樣做我們將使用 MDA。經過短暫的離題，下面將描述三種選擇以保持在 TDA 上。
我們將使用經典的練習 998001÷999=999 作為例子來說明上述三個備選方案。這個練習在中文中叫做：孤雁歸隊 (孤雁歸隊 Gūyàn guīduì)。如果你在算盤上輸入這個除法，例如
| 算盤 |
|---|
| ABCDEFGHIJK |
| 999 998001 |
如果你有強大的想象力，毫無疑問，你會將 K 上設定的單個珠子識別為一隻孤雁，它剛剛離開她的鵝群 FGH（你可以看到她在 H 列下方的位置）。要讓她回到鵝群，你只需要完成除法，得到 999 就好了！
原則上，我們可以將小“1”新增到任何未使用的列中，例如最右邊的一列；但這可能會令人討厭和不方便，因為手和注意力都必須在算盤上從一個地方跳到另一個地方，有可能最終在錯誤的列上操作。這裡，無需進一步考慮，我們將簡單地將小 "1" 新增到剛輸入的中間商數字的列中。這聽起來可能很奇怪或很暴力 (事實上確實如此)，但如果我們能夠記住中間數字的值，我們就可以像往常一樣操作，任何異常都會在瞬間從算盤中消失。讓我們用 998001999=999 的例子在 4+1 算盤上看看它
| 算盤 | 評論 |
|---|---|
| ABCDEFGHIJK | |
| 999 998001 | 中國規則：9/9->9+9，記住商數字 9! |
| 999 1088001 | （向左“進位”！不要驚慌！） |
| -81 | -9*9 |
| 999 1007001 | |
| -81 | -9*9 |
| 999 998901 | 中國規則：9/9->9+9，記住商數字 9! |
| 999 1007901 | （向左“進位”！不要驚慌！） |
| -81 | -9*9 |
| 999 999801 | |
| -81 | -9*9 |
| 999 998991 | 中國規則：8/9->8+8，記住商數字 8! |
| 999 999791 | |
| -72 | -8*9 |
| 999 999071 | |
| -72 | -8*9 |
| 999 998999 | 最後，向上修正 |
| 999 999 | 完成！ |
在 5+1 算盤上，事情就簡單多了。我們可以使用第 5 個珠子來避免進位。
| 算盤 | 評論 |
|---|---|
| ABCDEFGHIJK | |
| ... | |
| 999 998901 | 中國規則：9/9->9+9，記住商數字 9! |
| 999 9T7901 | |
| -81 | -9*9 |
| 999 999801 | |
| ... | ...等等。 |
正如我們所看到的，我們可以用這種方法來做，但這似乎不是一個非常吸引人的方法，因為我們需要記憶和高度集中注意力以避免出錯。因此，除了作為一種專注練習之外，人們不應該嘗試這種方法。
如果我們使用 5+1，而不是將珠子一直向上推，實際上將小“1”新增到中間商數字，就像上一個案例那樣，將它只推到一半，留下一個懸掛的下珠，如右圖頂部所示，似乎更合理。這個懸掛的珠子將代表溢位，同時保持商數字的完整性。
這似乎是一個處理溢位（無論是除法還是乘法）的完美方法，一切都在我們的眼前，無需記憶。事實上，當使用懸掛的下珠時，不需要額外的上珠，5+1 算盤的功能就和 5+2 或 5+3 的算盤一樣強大。這也許可以解釋為什麼 5+1 算盤在過去如此流行，以及為什麼第五個下珠能存活如此之久。注意圖的下半部分，這個方法也可以，儘管有些複雜，推廣到 4+1 算盤。從這裡開始，我們將在圖中使用下劃線數字來表示溢位，因為下劃線會提醒我們懸掛珠子的樣子，而且它們不會像撇號那樣弄亂用等寬字型打字的算盤過程表。
讓我們用這種技術重複上述練習。除數不再表示，還有一些細節被介紹，以進一步說明第五個下珠如何在減法中被使用，從而在一定程度上簡化操作（像往常一樣，T 是 10，1 個上珠 + 5 個下珠被啟用）。
| 算盤 | 評論 |
|---|---|
| ABCDEF | |
| 998001 | |
| 988001 | 中國規則：9:9 > 9+9 |
| -8 | 從 BC 中減去 81 |
| 9T8001 | |
| -1 | |
| 9T7001 | |
| -8 | 從 CD 中減去 81 |
| 999001 | |
| -1 | |
| 998901 | |
| 997901 | 中國規則：9:9 > 9+9 |
| -8 | 從 CD 中減去 81 |
| 999901 | |
| -1 | |
| 999801 | |
| -8 | 從 DE 中減去 81 |
| 998T01 | |
| -1 | |
| 998991 | |
| 998791 | 中國規則：8:9 > 8+8 |
| -7 | 從 DE 中減去 72 |
| 998T91 | |
| -2 | |
| 998T71 | |
| -7 | 從 EF 中減去 72 |
| 9989T1 | |
| -2 | |
| 998999 | 向上修正 |
| -9 | (從右到左以節省一隻手移動) |
| 998990 | |
| -9 | |
| 998900 | |
| -9 | |
| 998000 | |
| +1 | |
| 999000 | 完成！ |
另請參見 除法示例，以說明 5+1、5+2 和 5+3 型算盤上的這種除法。
現在在一個 4+1 算盤上。我們需要使用懸掛的四個下珠群作為9的程式碼。
| 算盤 | 評論 |
|---|---|
| ABCDEF | |
| 998001 | |
| 988001 | 中國規則：9:9 > 9+9 |
| -81 | 從 BC 中減去 81 |
| 987001 | |
| -81 | 從 CD 中減去 81 |
| 998901 | |
| 997901 | 中國規則：9:9 > 9+9 |
| -81 | 從 CD 中減去 81 |
| 999801 | |
| -81 | 從 DE 中減去 81 |
| 998991 | |
| 998791 | 中國規則：8:9 > 8+8 |
| -72 | 從 DE 中減去 72 |
| 998071 | |
| -72 | 從 EF 中減去 72 |
| 998999 | 向上修正 |
| 999000 | 完成！ |
如果你嘗試過，你可能已經注意到，四個懸掛珠子的群組的行為與 5+2 算盤上使用的懸掛上珠相同；也就是說，用“反向算術”，如果你將懸掛珠子向算盤豆移動，你是在減法而不是加法！。
上面說過，使用懸掛的下珠似乎是一種完美的方法……但實際上它有點煩人，因為它本身很慢。懸掛珠子總是很困難，尤其是現代算盤上那些小而留有很少空餘空間的珠子，儘管有捏住珠子用兩個手指然後像摘花一樣縮回手的愚蠢技巧。沒錯，使用 5+1 算盤不需要額外的上珠，但毫無疑問，如果你有很多乘法或除法要做，你會更喜歡額外的珠子提供的速度，因為很少需要在 5+2 上懸掛珠子，而在 5+3 上就永遠不需要懸掛珠子。
與其物理地移動/懸掛溢位珠子，不如想一下，珠子已經被懸掛在商數杆上了，或者被推到一個在你算盤周圍飛行的想象杆上，或者就在你周圍……，或者僅僅記住“溢位狀態”已經被設定為ON，並且需要儘快將其重置為OFF。這種方法類似於在舊電子計算器程式設計中設定ON/OFF標誌的過程。顯然，不移動任何珠子比移動任何珠子都快，所以沒有什麼比這種替代方法更快了。不過，我們應該預期需要一些練習才能適應這種方法，並準備好由於記憶而犯更多錯誤。然而，像在暴力法中那樣記憶一個數字，比僅僅記憶一個警報條件要糟糕，因為這裡需要的是警報條件。
不需要新的例子。之前的例子可以在這個新視角下被理解，只需要將下劃線解釋成類似於溢位標誌：ON的東西。
我們在這裡看到了三種處理 4+1 和 5+1 算盤上溢位的技術，這些技術將小的“1”推到中間商數列上。
- 所有方法都將它有效地作為進位加到商數中。
- 只有一半，留下一個懸掛的下珠。
- 什麼都沒有（但都在我們腦海裡）。
這些方法為我們在任何型別的算盤上使用傳統技術和安排提供了可能性，只需將機制適應額外珠子的存在與否。如果你最終被傳統技術說服，這是一個優勢。
有人提到，沒有古代日本文字解釋如何處理 5+1 算盤上的溢位。最有可能的形式是這裡介紹的最後兩種方法之一。請考慮，第二種方法可以在幾秒鐘內向其他人展示，而且一旦看到，它就不會被遺忘，也不需要進一步解釋；它是如此顯而易見。因此，沒有必要寫長篇大論來傳達這種知識。
- ↑ Kojima, Takashi (1954), The Japanese Abacus: its Use and Theory, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9
- ↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634). Jinkoki (塵劫記) (in Japanese).
{{cite book}}: Unknown parameter|trans_title=ignored (|trans-title=suggested) (help) - ↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573]. Pánzhū Suànfǎ (盤珠演算法) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
{{cite book}}: Unknown parameter|trans_title=ignored (|trans-title=suggested) (help) - ↑ "The Definitive Higher Math Guide on Integer Long Division (and Its Variants)". Math Vault. Archived from the original on May 14, 2021. Retrieved August 4, 2021.
- ↑ Murakami, Masaaki (2020-06-29). "The 5th lower bead". (Web link). Retrieved on 2021-08-13.