傳統算盤珠算/除法/傳統除法示例

一位數除數（短除法）

數字 123456789 也被用於在許多古代算盤書籍中展示乘法和除法。一些書籍，比如《盤珠演算法》^[1]，從這個數字的傳統乘法開始（參見章節：乘法）乘以一個數字，然後使用除法將算盤恢復到原始狀態；其他書籍，比如《算盤記》^[2]，則反其道而行之，從除法開始，以乘法結束練習。我們在這裡做的是後者。

數字 123456789 可被 3、9 和 13717421 整除，因此用 2、3、4、5、6、8 和 9 除的結果將以有限小數表示（2 和 5 是十進位制基數或基數 10 的除數）。只有用 7 除的結果會得到無限多個小數位，所以我們在這裡會將其截斷並給出餘數。

不幸的是，這個練習沒有使用所有除法規則，但這是一個良好的開端，可以讓您在沒有工作表的情況下練習。

123456789 除以 9

123456789 除以 9
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	除數 9 在 M
123456789 9	A 列：應用 1/9>1+1
133456789 9	將 A 中的 1 更改為 1，並將 1 加到 B
136456789 9	B 列：應用規則 3/9>3+3 將 B 中的 3 更改為 3，並將 3 加到 C
136T56789 9	C 列：應用規則 6/9>6+6 將 C 中的 6 更改為 6，並將 6 加到 D
136056789 9	（同上）
137156789 9	向上修正
137166789 9	D 列：應用規則 1/9>1+1 將 D 中的 1 更改為 1，並將 1 加到 E
137162789 9	E 列：應用規則 6/9>6+6 將 E 中的 6 更改為 6，並將 6 加到 F
137173789 9	向上修正
137173089 9	F 列：應用規則 3/9>3+3 將 F 中的 3 更改為 3，並將 3 加到 G
137174189 9	向上修正
137174199 9	G 列：應用規則 1/9>1+1 將 G 中的 1 更改為 1，並將 1 加到 H
137174209 9	向上修正
137174210 9	向上修正。完成！ 123456789/9=13717421

123456789 除以 8

123456789 除以 8
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數在 A-I，除數 8 在 M
123456789 8
143456789 8	A 列：規則 1/8>1+2，將 A 中的 1 更改為 1，將 2 加到 B
153456789 8	B 列：規則 4/8>5+0，將 B 中的 4 更改為 5，將 0 加到 C
153T56789 8	C 列：規則 3/8>3+6，將 C 中的 3 更改為 3，將 6 加到 D
153056789 8	（同上）
154256789 8	向上修正 C，將 1 加到 C，從 D 中減去 8
154296789 8	D 列：規則 2/8>2+4，將 D 中的 2 更改為 2，將 4 加到 E
154316789 8	向上修正 D，將 1 加到 D，從 E 中減去 8
154318789 8	E 列：規則 1/8>1+2，將 E 中的 1 更改為 1，將 2 加到 F
154320789 8	向上修正 E，將 1 加到 E，從 F 中減去 8
154320849 8	G 列：規則 7/8>8+6，將 G 中的 7 更改為 8，將 6 加到 H
154320969 8	向上修正 G，將 1 加到 G，從 H 中減去 8
154320973 8	H 列：規則 6/8>7+4，將 H 中的 6 更改為 7，將 4 加到 I
154320985 8	向上修正 H，將 1 加到 H，從 I 中減去 8
1543209862 8	I 列：規則 5/8>6+2，將 I 中的 5 更改為 6，將 2 加到 J
15432098624 8	J 列：規則 2/8>2+4，將 J 中的 2 更改為 2，將 4 加到 K
1543209862508	K 列：規則 4/8>5+0，將 K 中的 4 更改為 5，將 0 加到 L。完成！ 123456789/9=15432098.625

123456789 除以 7

123456789 除以 7
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數在 A-I，除數 8 在 M
123456789 7
153456789 7	A 列：規則 1/7>1+3，將 A 中的 1 更改為 1，將 3 加到 B
174456789 7	B 列：規則 5/7>7+1，將 B 中的 5 更改為 7，將 1 加到 C
175956789 7	C 列：規則 4/7>5+5，將 C 中的 4 更改為 5，將 5 加到 D
176256789 7	向上修正 C，將 1 加到 C，從 D 中減去 7
176256789 7	C 列：規則 2/7>2+6，將 D 中的 2 更改為 2，將 6 加到 E
176346789 7	向上修正 D，將 1 加到 D，從 E 中減去 7
176351789 7	E 列：規則 4/7>5+5，將 E 中的 4 更改為 5，將 5 加到 F
176364789 7	向上修正 E，將 1 加到 E，從 F 中減去 7
176365289 7	F 列：規則 4/7>5+5，將 F 中的 4 更改為 5，將 5 加到 G
176366589 7	向上修正 F，將 1 加到 F，從 G 中減去 7
176366799 7	G 列：規則 5/7>7+1，將 G 中的 5 更改為 7，將 1 加到 H
176366829 7	向上修正 G，將 1 加到 G，從 H 中減去 7
176366825 7	H 列：規則 2/7>2+6，將 H 中的 2 更改為 2，將 6 加到 I
176366841 7	向上修正 H 兩次，將 2 加到 H，從 I 中減去 14。到此為止！ 123456789/9=17636684，餘數 = 1

123456789 除以 6

123456789 除以 6
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數在 A-I，除數 8 在 M
123456789 6
163456789 6	A 列：規則 1/6>1+4，將 A 中的 1 更改為 1，將 4 加到 B
203456789 6	向上修正 A，將 1 加到 A，從 B 中減去 6
205456789 6	C 列：規則 3/6>5+0，將 C 中的 3 更改為 5，將 0 加到 D
205696789 6	D 列：規則 4/6>6+4，將 D 中的 4 更改為 6，將 4 加到 E
205736789 6	向上修正 D，將 1 加到 D，從 E 中減去 6
205756789 6	E 列：規則 3/6>5+0，將 E 中的 3 更改為 5，將 0 加到 F
205760789 6	向上修正 E，將 1 加到 E，從 F 中減去 6
205761189 6	向上修正 F，將 1 加到 F，從 G 中減去 6
205761129 6	G 列：規則 1/6>1+4，將 G 中的 1 更改為 1，將 4 加到 H
205761309 6	向上修正 G 兩次，將 2 加到 G，從 H 中減去 12
205761313 6	向上修正 H，將 1 加到 H，從 I 中減去 6
205761315 6	I 列：規則 3/6>5+0，將 I 中的 3 更改為 5，將 0 加到 J。完成！ 123456789/6=20576131.5

123456789 除以 5

123456789 除以 5
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數在 A-I，除數 8 在 M
123456789 5
223456789 5	A 列：規則 1/5>2+0，將 A 中的 1 更改為 2，在 B 中加 0
243456789 5	B 列：規則 2/5>4+0，將 B 中的 2 更改為 4，在 C 中加 0
246456789 5	C 列：規則 3/5>6+0，將 C 中的 3 更改為 6，在 D 中加 0
246856789 5	D 列：規則 4/5>8+0，將 D 中的 4 更改為 8，在 E 中加 0
246906789 5	向上修正 D，在 D 中加 1，從 E 中減 5
246911789 5	向上修正 E，在 E 中加 1，從 F 中減 5
246912789 5	F 列：規則 1/5>2+0，將 F 中的 1 更改為 2，在 G 中加 0
246913289 5	向上修正 F，在 F 中加 1，從 G 中減 5
246913489 5	G 列：規則 2/5>4+0，將 G 中的 2 更改為 4，在 H 中加 0
246913539 5	向上修正 G，在 G 中加 1，從 H 中減 5
246913569 5	H 列：規則 3/5>6+0，將 H 中的 3 更改為 6，在 I 中加 0
246913574 5	向上修正 H，在 H 中加 1，從 I 中減 5
246913578 5	I 列：規則 4/5>8+0，將 I 中的 4 更改為 8，在 J 中加 0。完成！123456789/5=24691357.8

123456789 除以 4

123456789 除以 4
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數在 A-I，除數 8 在 M
123456789 4
243456789 4	A 列：規則 1/4>2+2，將 A 中的 1 更改為 2，在 B 中加 2
303456789 4	向上修正 A，在 A 中加 1，從 B 中減 4
307656789 4	C 列：規則 3/4>7+2，將 C 中的 3 更改為 7，在 D 中加 2
308256789 4	向上修正 C，在 C 中加 1，從 D 中減 4
308556789 4	D 列：規則 2/4>5+0，將 D 中的 2 更改為 5，在 E 中加 0
308616789 4	向上修正 D，在 D 中加 1，從 E 中減 4
308628789 4	E 列：規則 1/4>2+2，將 E 中的 1 更改為 2，在 F 中加 2
308640789 4	向上修正 E 兩次，在 E 中加 2，從 F 中減 8
308641389 4	向上修正 F，在 F 中加 1，從 G 中減 4
3086417T9 4	G 列：規則 3/4>7+2，將 G 中的 3 更改為 7，在 H 中加 2
308641929 4	向上修正 G 兩次，在 G 中加 2，從 H 中減 8
308641959 4	H 列：規則 2/4>5+0，將 H 中的 2 更改為 5，在 I 中加 0
308641971 4	向上修正 H 兩次，在 H 中加 2，從 I 中減 8
3086419722 4	I 列：規則 1/4>2+2，將 I 中的 1 更改為 2，在 J 中加 2
3086419725 4	J 列：規則 2/4>5+0，將 J 中的 2 更改為 5，在 K 中加 0。完成！123456789/4=30864197.25

123456789 除以 3

123456789 除以 3
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數在 A-I，除數 8 在 M
123456789 3
333456789 3	A 列：規則 1/3>3+1，將 A 中的 1 更改為 3，在 B 中加 1
403456789 3	向上修正 A，在 A 中加 1，從 B 中減 3
410456789 3	向上修正 B，在 B 中加 1，從 C 中減 3
411156789 3	向上修正 C，在 C 中加 1，從 D 中減 3
411366789 3	D 列：規則 1/3>3+1，將 D 中的 1 更改為 3，在 E 中加 1
411506789 3	向上修正 D 兩次，在 D 中加 2，從 E 中減 6
411520789 3	向上修正 E 兩次，在 E 中加 2，從 F 中減 6
411522189 3	向上修正 F 兩次，在 F 中加 2，從 G 中減 6
411522399 3	G 列：規則 1/3>3+1，將 G 中的 1 更改為 3，在 H 中加 1
411522609 3	向上修正 G 三次，在 G 中加 3，從 H 中減 9
411522630 3	向上修正 H 三次，在 H 中加 3，從 I 中減 9。完成！123456789/3=41152263

123456789 除以 2

123456789 除以 2
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數在 A-I，除數 8 在 M
123456789 2
523456789 2	A 列：規則 1/2>5+0，將 A 中的 1 更改為 5，在 B 中加 0
603456789 2	向上修正 A，在 A 中加 1，從 B 中減 2
611456789 2	向上修正 B，在 B 中加 1，從 C 中減 2
615456789 2	C 列：規則 1/2>5+0，將 C 中的 1 更改為 5，在 D 中加 0
617056789 2	向上修正 C 兩次，在 C 中加 2，從 D 中減 4
617216789 2	向上修正 D 兩次，在 D 中加 2，從 E 中減 4
617256789 2	E 列：規則 1/2>5+0，將 E 中的 1 更改為 5，在 F 中加 0
617280789 2	向上修正 E 三次，在 E 中加 3，從 F 中減 6
617283189 2	向上修正 F 三次，在 F 中加 3，從 G 中減 6
617283589 2	G 列：規則 1/2>5+0，將 G 中的 1 更改為 5，在 H 中加 0
617283909 2	向上修正 G 四次，在 G 中加 4，從 H 中減 8
617283941 2	向上修正 H 四次，在 H 中加 4，從 I 中減 8
617283945 2	I 列：規則 1/2>5+0，將 I 中的 1 更改為 5，在 J 中加 0。完成！123456789/2=61728394.5

多位數除數（長除法）

998001 除以 999

998001 除以 999
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數在 A-F，除數 8 在 K-M
998001 999
988001 999	中國規則：9/9>9+9
-8	從 BC 中減 81
9T8001 999
-1
9T7001 999
-8	從 CD 中減 81
999001 999
-1
998901 999
997901 999	中國規則：9/9>9+9
-8	從 CD 中減 81
999901 999
-1
999801 999
-8	從 DE 中減 81
998T01 999
-1
998991 999
998791 999	中國規則：8/9>8+8
-7	從 DE 中減 72
998T91 999
-2
998T71 999
-7	從 EF 中減 72
9989T1 999
-2
998999 999
-9	向上修正（從右到左以節省一隻手移動）
998990 999
-9
998900 999
-9
998000 999
+1
999000 999	完成！998001/999 = 999

998001 除以 999
在 5+2 算盤上
在 5+1 算盤上
在 5+3 算盤上

888122 除以 989

888122 除以 989
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數 888122 在 A-F，除數 989 在 K-M
888122 989
868122 989	集中在 A 並使用規則：8/9>8+8 即，將 A 中的 8 更改為 8（無需操作）並在 B 中加 8
804122 989	從 BC 中減去 A×L=8×8=64
896922 989	從 CD 中減去 A×M=8×9=72
895922 989	關注 B 並使用規則：9/9>9+9，即：將 B 中的 9 更改為 9（無需操作）並將 9 新增到 C
898722 989	從 CD 中減去 B×L=9×8=72
897912 989	從 DE 中減去 B×M=9×9=81
897612 989	關注 C 並使用規則：7/9>7+7，即：將 B 中的 7 更改為 7（無需操作）並將 7 新增到 D
897052 989	從 DE 中減去 C×L=7×8=56
897989 989	從 EF 中減去 C×M=7×9=63
898000 989	向上調整：將 C 加 1，從 DEF 中減去 989。DEF 中的餘數為零，因此 888122/989 = 898。完成！

888122 除以 898

888122 除以 898
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM	被除數 888122 在 A-F 中，除數 898 在 K-M 中
888122 898
968122 898	關注 A 並使用規則：8/8>9+8，即：將 A 中的 8 更改為 9 並將 8 新增到 B
987122 898	從 BC 中減去 A×L=9×9=81
979922 898	從 CD 中減去 A×M=9×8=72
985922 898	關注 B 並使用規則：7/8>8+6，即：將 B 中的 7 更改為 8 並將 6 新增到 C
988722 898	從 CD 中減去 B×L=8×9=72
988082 898	從 DE 中減去 B×M=8×8=64
989882 898	關注 C 並使用規則：8/8>9+8，即：將 C 中的 8 更改為 9 並將 8 新增到 D
989072 898	從 DE 中減去 C×L=9×9=81
989000 898	從 EF 中減去 C×M=9×8=72。DEF 中的餘數為零，因此 888122/898 = 989。完成！

412 除以 896

412 除以 896
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM
896 412	這次除數在左邊，被除數在右邊
896 512	E 列：規則 4/8>5+0，將 E 中的 4 更改為 5，將 0 新增到 F
896 492	無法從 FG 中減去 E×B=5×9=45，向下調整 E：從 E 中減去 1，將 8 新增到 F
896 456	從 FG 中減去 E×B=4×9=36
896 4536	從 GH 中減去 E×C=4×6=24
896 4656	F 列：規則 5/8>6+2，將 F 中的 5 更改為 6，將 2 新增到 G
896 4602	從 GH 中減去 F×B=6×9=54
896 4582	無法從 HI 中減去 F×C=6×6=36，向下調整 F：從 F 中減去 1，將 8 新增到 G
896 4591	並將 9 新增到 H 以返回從 GH 中減去的 89
896 4588	繼續正常操作並將 F×C=3×6=30 從 HI 中減去
896 45916	G 列：規則 8/8>9+8，將 G 中的 8 更改為 9，將 8 新增到 H
896 45979	從 HI 中減去 G×B=9×9=81
896 459736	從 IJ 中減去 G×C=9×6=54
896 459896	H 列：規則 7/8>8+6，將 H 中的 7 更改為 8，將 6 新增到 I
896 459824	從 IJ 中減去 H×B=8×9=72
896 4598192	從 JK 中減去 H×C=8×6=48
896 4598112	I 列：規則 1/8>1+2，將 I 中的 1 更改為 1，將 2 新增到 J
896 4598103	從 JK 中減去 I×B=1×9=9
896 45981024	從 KL 中減去 I×C=1×6=6
896 45982128	向上調整 I：將 I 加 1，從 JKL 中減去 896
896 45982148	J 列：規則 1/8>1+2，將 J 中的 1 更改為 1，將 2 新增到 K
896 45982139	從 KL 中減去 J×B=1×9=9
896 459821384	從 LM 中減去 J×C=1×6=6
896 459821344	K 列：規則 3/8>3+6，將 K 中的 3 更改為 3，將 6 新增到 L
896 459821317	從 LM 中減去 K×B=3×9=27
896 459821315	從 M 中減去 K×C=3×6=18 … 從現在開始它被近似了^a
896 459821425	向上調整 K：將 K 加 1，從 LM 中減去 896 …
896 459821429	L 列：規則 2/8>2+4，將 L 中的 2 更改為 2，將 4 新增到 M
896 459821427	從 M 中減去 L×B=2×9=18 …
896 459821428	M 列：規則 7/8>8+6，將 M 中的 7 更改為 8，將 4 新增到 … 完成！412/896=0.459821428

注意： ^a 請參閱章節：簡化操作

參考文獻

↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573]. Pánzhū Suànfǎ (盤珠演算法) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (help)
↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634). Jinkoki (塵劫記) (in Japanese). {{cite book}}: Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (help)

外部資源

你可以使用算盤訓練器線上練習傳統除法（請參閱章節：簡介），使用這個檔案 kijoho-1digit.sbk，你應該將其下載到你的電腦上，然後提交到算盤訓練器（它是一個文字檔案，你可以用任何文字編輯器檢視，並且可以安全地下載到你的電腦上）。

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[1] Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573]. Pánzhū Suànfǎ (盤珠演算法) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (help)

[2] Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634). Jinkoki (塵劫記) (in Japanese). {{cite book}}: Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (help)

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