傳統算盤與珠算/除法/學習除法表

除法表的記憶。

除法表包含 45 條規則，包括 9 個對角元素，用於多位除數。

除法表 (八算, Hassan, Bā suàn)

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

與我們在乘法表中找到的相同數量的獨立元素（考慮到此操作的交換性），其記憶是我們在學校童年時期的壯舉之一。因此，記憶除法表與學習乘法表類似。

這些規則

• 從操作的角度來看，這些規則的閱讀或解釋會有所不同，具體取決於我們使用的是傳統 (TDA) 還是現代 (MDA) 除法排列。
  • 使用 MDA 時，規則 a/b>q+r 必須讀作：“將 q 作為中間商位寫到左邊，清除 a 並將 r 新增到右邊”
  • 使用 TDA 時，規則 a/b>q+r 必須讀作：“將 a 更改為 q 作為中間商位，並將 r 新增到右邊”
• 從理論的角度來看，每條規則都表達了歐幾里得除法的結果：${\textstyle (10\times a)/b=q,r}$ ($q$: 商，$r$: 餘數，$a,b$ 是 1 到 9 的數字) 或等效地 ${\textstyle 10a=q\cdot b+r}$

如果我們考慮最後一點，實際上沒有必要記憶除法規則，因為我們可以在需要時透過簡單的思維過程來獲得它們。但隨後我們會做出與現代除法方法類似的腦力勞動，並且會偏離傳統方法的理念。毫無疑問，傳統方法的效率和優點只有透過記憶規則才能實現，我們只應該在學習階段才訴諸上述思維過程，當某些規則難以記憶時。

幸運的是，除法表中出現的一系列模式可以幫助我們更容易地學習它，在總共 45 條規則中只留下 14 條難的規則。

簡單的規則

在章節中：傳統除法指南 (帰 除法) 我們已經提到過，除以 9、5 和 2 的除法規則，以及對角線規則，具有特別簡單的結構，允許幾乎立即記憶。

簡單的規則

對角線	除以 9	除以 5	除以 2
1/1>9+1	1/9>1+1	1/5>2+0	1/2>5+0
2/2>9+2	2/9>2+2	2/5>4+0
3/3>9+3	3/9>3+3	3/5>6+0
4/4>9+4	4/9>4+4	4/5>8+0
5/5>9+5	5/9>5+5
6/6>9+6	6/9>6+6
7/7>9+7	7/9>7+7
8/8>9+8	8/9>8+8
9/9>9+9

出於這個原因，本章中展示的示例只使用了以 2、5 和 9 開頭的除數。如果您用這些除數練習幾個示例，那麼記憶這 22 條規則（幾乎是總數的一半！）對您來說並不困難；這是對工作量的巨大減少，而且還不是唯一的減少。

除以 8

在剩下的規則中，除以 8 的序列最長，但並非最難，因為它具有內部結構

除以 8 的規則

1/8>1+2	5/8>6+2
2/8>2+4	6/8>7+4
3/8>3+6	7/8>8+6
4/8>5+0

撇開 4/8>5+0（將其視為 8x5 = 40），兩個子序列 1、2、3 和 5、6、7 具有相同的餘數，商則簡單如 1、2、3 和 6、7、8；所以，毫無疑問，這不會是你學習中最難的序列。

次對角線規則

最後，作為學習的最後手段，請注意表中對角線旁的以下一系列術語。

次對角線規則

4/5>8+0

5/6>8+2

6/7>8+4

7/8>8+6

8/9>8+8

這裡實際上只有兩個新規則，但掌握上面的表格結構也將有助於你記憶除數為 5、8 和 9 的規則。

難的規則

總之，除法表中包含的 45 條規則中，有 31 條屬於之前的模式之一（灰色）

除法表 (八算, Hassan, Bā suàn)

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

我們只剩下 14 條“難的”規則需要記憶，沒有其他幫助。這不再是一項艱鉅的任務。振作起來，不要放棄！只要付出一些努力和練習，傳統珠算的奧妙就會掌握在你的手中！

組合的乘除法表

以下是一個簡單的歷史筆記，幾乎沒有實際意義。

英語中的乘法表包含所有 81 個兩位數的積，無論順序如何；也就是說，它包含 8x9 = 72 和 9x8 = 72，考慮到乘法的交換性，這是不必要的。相反，在中文中，它只包含這些對中的一個項 8x9 = 72；始終以第一個因子小於或等於第二個因子。另一方面，除法規則的表達是以除數優先，而除數始終大於被除數，除了我們稱為對角線的規則，其中除數等於被除數。這使得我們可以構思一個組合的乘除法表，它涵蓋了作為運算數的數字對的整個“空間”

組合的乘除法表

9✕9 81	9\8 8+8	9\7 7+7	9\6 6+6	9\5 5+5	9\4 4+4	9\3 3+3	9\2 2+2	9\1 1+1
8✕9 72	8✕8 64	8\7 8+6	8\6 7+4	8\5 6+2	8\4 5+0	8\3 3+6	8\2 2+4	8\1 1+2
7✕9 63	7✕8 56	7✕7 49	7\6 8+4	7\5 7+1	7\4 5+5	7\3 4+2	7\2 2+6	7\1 1+3
6✕9 54	6✕8 48	6✕7 42	6✕6 36	6\5 8+2	6\4 6+4	6\3 5+0	6\2 3+2	6\1 1+4
5✕9 45	5✕8 40	5✕7 35	5✕6 30	5✕5 25	5\4 8+0	5\3 6+0	5\2 4+0	5\1 2+0
4✕9 36	4✕8 32	4✕7 28	4✕6 24	4✕5 20	4✕4 16	4\3 7+2	4\2 5+0	4\1 2+2
3✕9 27	3✕8 24	3✕7 21	3✕6 18	3✕5 15	3✕4 12	3✕3  9	3\2 2+6	3\1 3+1
2✕9 18	2✕8 16	2✕7 14	2✕6 12	2✕5 10	2✕4  8	2✕3  6	2✕2  4	2\1 5+0
1✕9  9	1✕8  8	1✕7  7	1✕6  6	1✕5  5	1✕4  4	1✕3  3	1✕2  2	1✕1  1

我們已經更改了除法規則的寫法，以適應中文中使用的引數順序。為了突出這一點，我們用“\”替換了“/”，因此上述表格中出現的除法規則必須以以下形式解釋：讀作 **a\b c+d** : 作為：**a** 除以 **b0** **c** 次，餘數為 **d**。

組合表有 81 個元素或規則，我們必須新增對角線規則。

對角線

1/1>9+1

2/2>9+2

3/3>9+3

4/4>9+4

5/5>9+5

6/6>9+6

7/7>9+7

8/8>9+8

9/9>9+9

以及上一章中給出的向下修正規則。

向下修正規則（兩位數除數）

除以	將 q 修正為	新增到餘數
1	q-1	+1
2	q-1	+2
3	q-1	+3
4	q-1	+4
5	q-1	+5
6	q-1	+6
7	q-1	+7
8	q-1	+8
9	q-1	+9

這些規則是分開研究的。這總共加起來有 99 條規則，我們可以再加上大約 50 條加減法規則。傳統珠算學習本質上就是記憶和練習這 150 條規則。

統計規則

以下是實踐中出現的問題，而不是過去任何書本上的問題。除數為 1 和 2 的對角線規則

1 和 2 的對角線規則

2/2>9+2

1/1>9+1

在某種意義上是過度的，因為我們經常被迫多次向上修正除數。在實踐中，以下兩個 *統計* 規則（為了給它們一個名稱）表現得更好，允許更快的計算。

統計規則

2/2>7+6

1/1>7+3

請在練習中試一試！