傳統算盤與珠算/除法/傳統除法指南（帰除法）

介紹

傳統除法方法（TD），kijohou，guī chúfǎ（帰除法），是算盤中使用的兩種主要除法方法之一。該方法利用乘法表和特定的除法表，並且至少在 4 個世紀以來一直是算盤學習的標準方法，在 1930 年代失去了流行度。作為一個逐位或慢除法演算法，已在上一章中介紹，其中揭示了它的特殊特徵：它不需要思考，只需要遵循一些規則。本文件是其在算盤上使用的介紹，並假設讀者已經熟練掌握現代除法（MD）方法。

除法表

在上一章現代除法和傳統除法：密切相關中，介紹了以下除法表

除法表（八算，*Hassan*，*Bā suàn*）
1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

其中每個單元格中的歐幾里得除法結果 $(10\times a)/b=q,r$ ( $q$ : 商， $r$ : 餘數， $a,b$ 從 1 到 9 的數字) 以 $a/b>q+r$ 的形式表示，其原因將在下面看到。這意味著以下內容成立

$10a=q\cdot b+r$

該表有三個區域，對應於以下情況：如果除數有 $n$ 位數，我們將其與被除數的前 n 位數（從左側開始）進行比較，必要時新增尾隨零，則可能會發生三種情況

被除數大於或等於除數（例如 $770/689$ ）
被除數小於除數，並且除數的第一位數等於被除數的第一位數（例如 $670/689$ ）
被除數小於除數，並且除數的第一位數大於被除數的第一位數（例如 $570/689$ ）

上面的除法表中對角線以下的空白單元格對應於情況1。它們可以按照在其他地方看到的表格的樣式填充^[1]，但為了簡單起見，我們將其保留為空白。如果在除法過程中我們落入該區域，我們將繼續，目前，簡單地像下面的示例中看到的那樣，向上修改先前的商位數字。

對角線元素（灰色）對應於情況2，只有當除數至少有兩個數字時才會出現。

最後，其他非對角線元素對應於情況3，可以認為是最重要的研究物件。

毫無疑問，記憶除法表需要時間和精力，在投入大量時間和精力之前，您想知道傳統的除法方法是否適合您。幸運的是，九、五和二的除法表非常簡單，可以幾乎立即記憶（見下文），以及多位數除數的對角線元素。這意味著我們可以使用以 9、5 或 2 開頭的除數學習這種傳統技術，而無需太多努力，從而能夠決定是否值得花費時間學習整個表。在下文中，我們將使用基於此類除數的示例。

易於記憶的除法規則
對角線	除以 9	除以 5	除以 2
1/1>9+1	1/9>1+1	1/5>2+0	1/2>5+0
2/2>9+2	2/9>2+2	2/5>4+0
3/3>9+3	3/9>3+3	3/5>6+0
4/4>9+4	4/9>4+4	4/5>8+0
5/5>9+5	5/9>5+5
6/6>9+6	6/9>6+6
7/7>9+7	7/9>7+7
8/8>9+8	8/9>8+8
9/9>9+9

為什麼除法規則包含餘數？

假設我們要用 9 除 35，3/9>3+3 規則告訴我們必須使用 3 作為中間商，下一步將從 35 中減去 3✕9=27 的塊，留下餘數 8。如果我們也記住餘數，我們可以透過以下方式節省此乘法步驟：我們取消、清除或擦除被除數的第一位數字，在本例中為 3，然後我們將餘數 (3) 加到被除數的下一位數字 (5)。這樣，我們就可以得到相同的結果，但不用乘法表。對於一位數除數，我們永遠不必求助於乘法表，而在多位數除數的情況下，以同樣的方式進行，我們將節省一次必要的乘法。我們將在下面的算盤上看到它，但首先我們需要說明一下如何在算盤上安排除法。

現代除法排列 (MDA)

在本教科書中，我們假設讀者已經學習了現代算盤方法，正如高島孝司^[2] 的著作所代表的那樣。在以下示例中，我們將使用您已經熟悉的相同除法佈局來說明傳統除法，以便您更容易理解它們，並使用您通常的 4+1 型別算盤（如果您願意）。我們將此佈局稱為現代除法排列 (MDA)，但這不是傳統上在算盤上組織除法的方式。稍後，我將介紹傳統除法排列 (TDA)，正如我們將看到的那樣，它有一些優點和一些缺點，包括需要（或至少是方便）使用帶有額外上珠的專用算盤。

在使用MDA 時，您可以使用您已經知道的關於單位杆的規則（如果您需要它們）。

讓我們看看上面部分的 35÷9 示例，首先不使用（規則）餘數

35÷9 不使用（規則）餘數
算盤	註釋
ABCDEFGH
9 35	除數在 A 中，被除數在 GH 中，規則：3/9>3+3
+3	將商 3 填入 E
9 335
-27	從 GH 中減去塊 3✕9=27
9 3 8	新的餘數/被除數在 H 中
...	...

現在使用餘數

35÷9 使用（規則）餘數
算盤	註釋
ABCDEFGH
9 35	除數在 A 中，被除數在 GH 中，規則：3/9>3+3
+3	將商 3 填入 E
9 335
-3	清除 G 中的第一個被除數數字
9 3 5
9 +3	將餘數 3 加到 H
9 3 8	新的餘數/被除數在 H 中
...	...

也就是說

在使用MDA 時，規則a/b>q+r 必須這樣讀：“將q 作為中間商數字寫到左側，清除a 並將r 加到右側”

一位數除數

數字 123456789 傳統上被用來演示古代中國^[3] 和日本作品^[4]^[5] 中乘法表和除法表的用法。在這裡，我們將使用“簡單除數” 9、5 和 2 來進行演示。

示例 123456789÷9=13717421

123456789÷9=13717421
算盤	註釋
ABCDEFGHIJ	(除數未標明)
123456789	規則 1/9>1+1
+1	將商 1 填入 A
-1	清除 B
+1	將餘數 1 加到相鄰數字
1 33456789	規則 3/9>3+3
13 6456789	規則 6/9>6+6
1361056789
+1-9	向上修正
137 156789	規則 1/9>1+1
1371 66789	規則 6/9>6+6
1371612789
+1-9	向上修正
13717 3789	規則 3/9>3+3
1371731089
+1-9	向上修正
137174 189	規則 1/9>1+1
1371741 99
+1-9	向上修正
1371742 9
+1-9	向上修正
13717421	完成！

示例 123456789÷5=24691357.8

123456789÷5=24691357.8
算盤	註釋
ABCDEFGHIJ	(除數未標明)
123456789	規則 1/5>2+0
2 23456789	規則 2/5>4+0
24 3456789	規則 3/5>6+0
246 456789	規則 4/5>8+0
2468 56789
+1-5	向上修正
2469 6789
+1-5	向上修正
24691 1789	規則 1/5>2+0
246912 789
+1-5	向上修正
246913 289	規則 2/5>4+0
2469134 89
+1-5	向上修正
2469135 39	規則 3/5>6+0
24691356 9
+1-5	向上修正
24691357 4	規則 3/5>6+0
246913578	完成！

示例 123456789÷2=61728394.5

123456789÷2=61728394.5
算盤	註釋
ABCDEFGHIJ	(除數未標明)
123456789	規則 1/2>5+0
5 23456789
+1-2	向上修正
6 3456789
+1-2	向上修正
61 1456789	規則 1/2>5+0
615 456789
+2-4	向上修正兩次
617 56789
+2-4	向上修正兩次
6172 16789	規則 1/2>5+0
61725 6789
+3-6	向上修正三次
61728 789
+3-6	向上修正兩次
617283 189	規則 1/2>5+0
6172835 89
+4-8	向上修正四次
6172839 9
+4-8	向上修正四次
61728394 1	規則 1/2>5+0
617283945	完成！

多位數除數

例如，考慮 $359936/9728=37$ ，在這種情況下，方便地將除數視為由一個除數（第一個數字）和一個乘數（除數的其餘數字）組成，即 $9728=dmmm$ ，其中 $d$ 是除數 (9)， $mmm$ 是乘數 (728)。這種除法方法的中文和日文名稱（中文為歸除 Guīchú，日文為歸除法 Kijohou）指的是這一點：歸, Guī, Ki 是標題，除, chú, jo 是乘數^[6]。

在這種情況下，操作方法如下

首先，我們只考慮除數 $d$ ，並與一位數除數的情況進行完全相同的操作，即遵循除法規則：獲得中間商 $q$ ，並將餘數（來自規則）加到相鄰的列。
然後，如果可以，我們從餘數中減去塊 $q\times {\text{multiplier}}$ ；否則，我們必須向下修正 $q$ ，並使用以下規則將 $d$ 恢復到餘數。

向下修正規則（兩位數除數）
除以	將 q 修正為	加到餘數
1	q-1	+1
2	q-1	+2
3	q-1	+3
4	q-1	+4
5	q-1	+5
6	q-1	+6
7	q-1	+7
8	q-1	+8
9	q-1	+9

這些規則適用於兩位數除數，對於更多位數的除數，情況可能會更加複雜，例如MD（參見下面的示例 $23712/5928$ ）。讓我們看一下上述情況

示例 359936÷9728=37

359936÷9728=37
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM
9728 359936	規則 3/9>3+3
9728 3 89936	在 G 中輸入 3，清除 H 並將 3 加到 I
-2184	從 I-L 中減去塊 3✕乘數 3✕728=2184^a
9728 3 68096	規則 6/9>6+6
9728 3614096	在 H 中輸入 6，清除 I 並將 6 加到 J
-4368	從 J-M 中減去塊 6✕乘數 6✕728=4368
9728 36 9728	向上修正
+1-9728
9728 37	完成！

注意： ^a 這是一個簡寫符號，意味著必須分別從IJ、JK 和 KL 中減去 3✕7、3✕2 和 3✕8。

示例 235÷59=3.98…

235÷59=3.98…
算盤	註釋
ABCDEFGHIJ
59 235	規則 2/5>4+0
59 4 35	在 E 中輸入 4，清除 F 並將 0 加到 G
-36	無法從 GH 中減去塊 4✕乘數 4✕9=36！
-1+5	根據上述規則向下修正
59 3 85
-27	從 GH 中減去塊 3✕乘數 3✕9=27
59 3 58	規則 5/5>9+5
59 3913	在 F 中輸入 9，清除 G 並將 5 加到 H
-81	從 HI 中減去塊 9✕乘數 9✕9=81
59 39 49	規則 4/5>8+0
...	等等。

示例 23711÷5928=3,9998…

標題文字
算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLMN
5928 23711	規則 2/5>4+0
5928 4 3711	在 G 中輸入 4，清除 H 並將 0 加到 I
-36	從 IJ 中減去 4✕9=36
5928 4 111
-8	從 JK 中減去 4✕2=8
5928 4 31
-32	無法從 KL 中減去 4✕8=32！
-1+592	向下修正並將減去的多餘部分恢復到 IJK
5928 3 5951
-24	繼續正常進行，從 KL 中減去 3✕8=24
5928 3 5927	規則 5/5>9+5
...	等等。

傳統除法排列 (TDA)

如上所述，排列一般除法問題有兩種基本方法。讓我們並排檢視它們。

現代除法排列 (MDA)，如小島解釋的那樣^[2]，

MDA 25÷5=5
算盤	註釋
ABCDEF
5 25	被除數從 E 開始
5 5	除法後，商從 D 開始

傳統除法排列 (TDA)，從算籌時代^[7]一直沿用至 20 世紀初^[8]，出現在古代書籍中。

TDA 25÷5=5
算盤	註釋
ABCDEF
5 25	25÷5=5 被除數從 E 開始
5 5	除法後，商從 E 開始

到目前為止，我們在傳統除法中使用MDA，沒有遇到任何問題。然而，TDA 在任何除法方法中都會出現問題，包括傳統除法。這種麻煩的性質是由於除數和被除數/餘數之間的衝突頻繁發生（也就是說，它們都需要同時使用同一列），因此需要特殊技巧或算盤來處理這種衝突。儘管如此，TDA 至少從 13 世紀起就一直與傳統除法方法一起使用，而 MDA 直到現代才被使用。很明顯，TDA 有一定的優勢，但目前尚不清楚這些優勢是否足以證明其在歷史上的應用。

它少用一根算籌。
結果不會像MDA 那樣過多地向左移動，這在鏈式操作的情況下很重要。這一點和上述幾點使TDA 更加適合使用少量算籌的算盤，例如傳統的 13 檔算盤/算盤。
它節省了一些手指動作；例如，在使用傳統（中國）除法進行 6231÷93=67 的運算中，我用TDA 算出 14 個手指動作，而用MDA 算出 24 個手指動作。
手的移動距離更短。
它更不容易出錯，因為跳過的算籌更少。

避免上述衝突的方法是接受被除數/餘數的第一列在應用中國除法規則後可以溢位，並暫時接受大於 9 的值（最高可達 18），同時提供一些機制來處理這種溢位。有趣的是，似乎沒有古代文獻解釋如何進行後者，但我們將在章節中進行：處理溢位！。

在 5+2 或 5+3 算盤的情況下，我們可以使用額外的上珠來表示 10 到 20 之間的數字，在 5+2 的情況下使用懸珠（懸珠 xuán zhū 在中文中，kenshu 在日語中）。

第三顆珠子或懸珠預計只會在約 1% 的情況下使用，這證明了採用 5+2 模型作為標準而不是 5+3 的合理性。（如果您有興趣在任何算盤上使用TDA，請前往處理溢位章節，以瞭解如何操作）。

當使用TDA 時，規則a/b>q+r 必須讀作：“將a 更改為q 作為中間商數字，並將r 加到右邊”。

要檢視使用TDA進行TD的示例，請參閱傳統除法示例章節。

關於TD的效率

正如你在單一位數除數的例子中所看到的，TD效率隨著除數以較低數字開頭而降低，因為我們需要更頻繁地向上修正。當除數以1開頭時，我們可以說效率為零；事實上，除了1/1>9+1（這在統計學上是過度的，參見章節：學習除法表）之外，我們甚至沒有除法規則。對於最後這種情況，訣竅是在原位（章節：二的冪的除法）用2分別除除數和被除數，這很快，然後按照正常方法進行除法；現在除數以5到9之間的數字開頭。例如： $128/16$

標題文字
算盤	註釋
ABCDEFGHI
16 128	在原位除以2
8 64	規則 6/8>7+4
8 7 8
+1-8	向上修正
8 8	完成！

$128/16=(128/2)/(16/2)=64/8=8$

在其他情況下，我們對MD的直覺和經驗可以幫助我們。

與MD相比，TD這種較低的效率是我們要付出的代價，以節省我們對嘗試減去中間商數的心理工作。

參考文獻

↑ "割り算九九". 日語維基百科. {{cite web}}: 未知引數 |Language= 被忽略 (|language= 建議) (幫助); 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助); 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)
↑ ^a ^b Kojima, Takashi (1954), The Japanese Abacus: its Use and Theory, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9
↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573]. Pánzhū Suànfǎ (盤珠演算法) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)
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↑ Shinoda, Shosaku (篠田正作) (1895). Jitsuyo Sanjutsu (実用算術) (in Japanese). {{cite book}}: 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)
↑ Lisheng Feng (2020), "Traditional Chinese Calculation Method with Abacus", in Jueming Hua; Lisheng Feng (eds.), Thirty Great Inventions of China, Jointly published by Springer Publishing and Elephant Press Co., Ltd, ISBN 978-981-15-6525-0
↑ Zhū Shìjié 朱士傑 (1993) [1299]. Suànxué Qǐméng (算學啟蒙) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)
↑ Kwa Tak Ming (1922), The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus (PDF), San Francisco: Service Supply Co.

進一步閱讀

Knott, Cargill G. (1886), "The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects", Transactions of the Asiatic Society of Japan, 14: 18–73 討論了傳統除法
Totton Heffelfinger (2013). "算盤與單位杆 - 除法". 算盤 Abacus: 珠子的奧秘. 存檔於原始位置 2021 年 8 月 3 日. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助)
Totton Heffelfinger (2013). "短除法技巧 - 中國算盤". 算盤 Abacus: 珠子的奧秘. 存檔於原始位置 2021 年 8 月 3 日. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助)
Totton Heffelfinger (2013). "長除法技巧 - 中國算盤". 算盤 Abacus: 珠子的奧秘. 存檔於原始位置 2021 年 8 月 3 日. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助)
Totton Heffelfinger (2013). "中國除法規則在算盤上". 算盤 Abacus: 珠子的奧秘. 存檔於原始位置 2021 年 8 月 3 日. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助)

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[1] "割り算九九". 日語維基百科. {{cite web}}: 未知引數 |Language= 被忽略 (|language= 建議) (幫助); 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助); 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)

[Kojima1-2] Kojima, Takashi (1954), The Japanese Abacus: its Use and Theory, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9

[3] Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573]. Pánzhū Suànfǎ (盤珠演算法) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)

[4] Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634). Jinkoki (塵劫記) (in Japanese). {{cite book}}: 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)

[5] Shinoda, Shosaku (篠田正作) (1895). Jitsuyo Sanjutsu (実用算術) (in Japanese). {{cite book}}: 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)

[6] Lisheng Feng (2020), "Traditional Chinese Calculation Method with Abacus", in Jueming Hua; Lisheng Feng (eds.), Thirty Great Inventions of China, Jointly published by Springer Publishing and Elephant Press Co., Ltd, ISBN 978-981-15-6525-0

[7] Zhū Shìjié 朱士傑 (1993) [1299]. Suànxué Qǐméng (算學啟蒙) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: 未知引數 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建議) (幫助)

[8] Kwa Tak Ming (1922), The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus (PDF), San Francisco: Service Supply Co.

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