三角學/將一個三角形轉換為另一個

問題

• 給定兩個面積相同的三角形，我們可以將其中一個切成有限塊，然後重新排列成另一個嗎？

思考過程

如果我們可以將一個三角形切開並重新排列這些部分以形成一個矩形，那麼我們做得很好。矩形很容易處理。如果我們可以得到一些小矩形，以某種方式將它們變成一邊長度為 1 的矩形，然後將它們全部堆疊在這邊上形成一個一邊長度為 1 的矩形條，那麼我們就贏了。為什麼？因為切割和重新排列的過程是可逆的。具體來說

我們可以切割和重新排列第一個三角形，以形成一個面積相同且一邊長度為 1 的矩形。我們可以對另一個做同樣的事情。如果我們將此單位矩形的兩種分割方式的切割線疊加起來，我們將得到可以重新排列成第一個三角形或第二個三角形的碎片。

好吧，我們可以將任何三角形切割成兩個直角三角形，並且每個直角三角形都可以切割並重新組裝以形成一個矩形。所以我們肯定可以從每個三角形中得到兩個矩形。我們可以將這些切割成許多小矩形。

現在，我們如何將這些矩形轉換為一邊為一個單位的矩形？

一些實驗表明，使用平行四邊形是最佳方法。我們可以以一定角度切割，以獲得我們想要的邊長。而且我們可以切割平行四邊形並重新組裝成矩形，同時保持一邊的長度。一旦我們想到使用平行四邊形，並研究了切片和重新組裝它們的方法，我們發現我們實際上不需要對矩形做任何特殊操作。以下是我們的做法。

備註

我們不必一開始就把我們的解剖分成小塊。我們可以在進行時進行。然後，無論我們最終得到什麼解決方案，我們都可以將其轉換為我們一開始就解剖三角形的解決方案。

解決方案

將一個三角形轉換為另一個的解決方案 移動 I 首先取一個面積為 A 的三角形，將其切成兩塊，然後使用移動 I重新組裝成具有相同底邊的平行四邊形，如下所示 我們取了尺寸為一半的頂部三角形，並將其旋轉了 180 度。 移動 II 現在，給定任何平行四邊形，我們可以使用移動 II，切割和交換兩個部分的順序，該順序保留底邊並將頂邊向左或向右移動至多底邊的長度 更改一邊的長度 透過重複移動 II足夠多次，我們可以使不作為底邊的邊長變為任何我們想要的長度，只要它至少為$\displaystyle A/({\text{底邊長度}})$。這不是一個非常嚴格的限制。我們的目標是得到一個平行四邊形，它的一對邊長為一個三角形的底邊，而另一對邊長為另一個三角形的底邊。 為什麼我們要這樣做？因為然後我們得到一個平行四邊形，它可以是第一個三角形或第二個三角形形成的。 可能會出現什麼問題？唯一可能出現的問題是如果我們要得到的邊長$\displaystyle <A/({\text{底邊長度}})$。為了避免這種情況，我們將原始三角形定位，使每個三角形的最長邊作為底邊。然後透過使用移動 II一次或多次 (a) 我們不會更改底邊長度，該長度與原始三角形的底邊長度相同。 (b) 我們使另一對邊長為第二個三角形的底邊長度。 為了確認我們沒有嘗試將邊長設定得過短，我們注意到，在每個三角形中，最長邊必須至少與面積為 A 的等邊三角形的邊長相等。這是因為對於給定的面積，等邊三角形在保持最長邊最短方面做得最好。在等邊三角形中，每條邊都等於$\displaystyle {\sqrt {\frac {4A}{3}}}$。這兩個三角形的最長邊都必須至少等於$\displaystyle {\sqrt {\frac {4A}{3}}}$。最長邊長度的乘積為$\displaystyle \geq {\frac {4A}{3}}>A$，因此我們沒有嘗試將邊長設定得過短。 過渡 現在我們有一個平行四邊形，它的底邊等於其中一個三角形的底邊，另一條邊等於另一個三角形的底邊。 我們已經完成了一半，將一個三角形轉換為另一個三角形。我們可以翻轉平行四邊形，使另一條邊作為底邊。現在按照相反的步驟，以反向的 **移動 I** 結束，我們就將這些碎片重新組合成第二個三角形。

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