使用算盤/現代乘法

在進行更深入的乘法運算之前，您應該掌握加減法的基本技能。否則您會感到很沮喪。

介紹

自然數乘法的基本概念是重複加法。

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}$

例如，要將 47 乘以 23，只需將 23 加 47 次，或者將 47 加 23 次；我們可以用我們的算盤來做。

乘法作為重複加法
算盤	評論
ABCDEFHIJ
. . .	單位杆
+1 +47	將 1 加到 C 和 47 加到 IJ
1 47
+1 +47	將 1 加到 C 和 47 加到 IJ
2 94
+1 +47	將 1 加到 C 和 47 加到 IJ
3 141
...	以相同的方式繼續 19 次...！
22 1034
+1 +47	將 1 加到 C 和 47 加到 IJ
23 1081	結束。23×47=1081
. . .	單位杆

我們重複將 23 加到 **IJ** 列 23 次，同時將 1 加到 **C** 以便有一個可用的“計數器”。但這太慢了！一種更有效的方法是以下方法

更有效的乘法
算盤	評論
ABCDEFHIJ
. . .	單位杆
+1 +47	將 1 加到 C 和 47 加到 IJ
1 47
+1 +47	將 1 加到 C 和 47 加到 IJ
2 94
+1 +47	將 1 加到 C 和 47 加到 IJ
3 141
+1 +47	將 1 加到 B 和 47 加到 HI
13 511
+1 +47	將 1 加到 B 和 47 加到 HI
23 1081	結束。23×47=1081
. . .	單位杆

這一次，在將 47 加到 **IJ** 三次（並將 1 加到 **C**）之後，我們將一位移到左邊，開始將 47 加到 **HI** 列（並將 1 加到 **B**）。將 47 加到 **HI** 等同於將 470 = 10×47 加到 **HIJ**（將 10 加到 **BC**），從而大大減少了需要執行的操作次數，因為我們只執行了兩次，計數器 **BC** 就達到了 23，**GHIJ** 就達到了 1081，即最終結果。這種乘法方式是 19 世紀末出現的機械計算器中常用的方式，並一直使用到 20 世紀 70 年代。但這仍然過慢。

想想我們現在所知的算盤可以非常快速地進行加法，但在算盤發明之前，中國數學家使用算籌，算籌的操作速度非常慢。因此，中國數學家為了簡化計算，最終在公元前幾個世紀發明了我們所知的十進位制乘法表。

乘法表

這就是我們在學校裡學習的十進位制乘法表

十進位制乘法表
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

但生活在電腦時代，我們很有可能很快就會開始使用電子計算器，成年後我們很少會手工進行乘法。許多人，甚至包括數學家，往往都沒有將乘法表“牢記”在心，這對您來說可能是個壞訊息：如果您想用算盤有效地進行乘法（和除法），您必須將乘法表重新記入您的腦海！

使用乘法表，我們可以將乘法問題 $47\times 23$ 表示為

$47\times 23=(40+7)\times (20+3)=$

$=40\times 20+40\times 3+7\times 20+7\times 3=$

$=(4\times 2)\times 100+(4\times 3)\times 10+(7\times 2)\times 10+(7\times 3)$

例如，我們只需要檢索部分積： $(4\times 2)=8,(4\times 3)=12,(7\times 2)=14,(7\times 3)=21$ 從乘法表中，並按筆算方法在正確的位置上將它們加起來。

   47
  ×23
-----
   21
  12   (×10)
  14   (×10)
+ 8    (×100)
-----
 1081

這與我們在算盤上要採用的乘法方法完全一致。

現代乘法方法

當我們乘以兩個數字 $a$ 和 $b$ 時，我們將這兩個數字都稱為因數，將結果 $a\times b$ 稱為積，但也常將其中一個因數稱為被乘數，另一個因數稱為乘數。然而，當涉及到用算盤進行乘法時

被乘數: 它是我們將在算盤上進行操作的數字，它將指導我們以有序的方式獲得部分積，並在正確的位置上對它們進行對齊，以便在正確的位置上進行加法。
乘數: 它是我們不會在算盤上操作的因數。事實上，它甚至不是必須輸入的（但它很方便）。它通常是兩個因數中位數較少的那個。

乘法排列

在算盤上輸入這兩個因數有兩種方法，實際上可以認為是等效的；每種方法都有其自身的優缺點。關於我們在下一章將要學習的除法，也可以說同樣的話。請隨意嘗試這兩種排列方式。

傳統中式排列

被乘數位於算盤的左側，乘數離被乘數足夠遠。至少要留出與乘數的位數一樣多的列，再加上兩列，最好是三列。

示例

傳統中式排列
被乘數：345，乘數：67
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M

3	4	5									6	7

或者用表格形式

傳統中式排列
被乘數：345，乘數：67
算盤	評論
ABCDEFGHIJKLM
345 67

傳統日式排列

這是反向方式。乘數在左側，被乘數在右側，中間留出至少兩列空列。我們需要在乘數右側至少留出與乘數位數一樣多的空列，再加上一列。

傳統日式排列
被乘數：345，乘數：67
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M

6	7			3	4	5

或者用表格形式

傳統日式排列
被乘數：345，乘數：67
算盤	評論
ABCDEFGHIJKLM
67 345

這是在日本最受歡迎的形式^[1]，最終也被引入到中國。這也是我們將在本書中使用的形式。

一位數×一位數的乘法

當然，這太簡單了，我們不需要算盤，但它可以用來介紹其餘的例子。假設我們要乘以 $7\times 8$ ，我們將 7 作為乘數，8 作為被乘數，並採用剛剛解釋過的日式排列方式；也就是說，我們從

**7×8=56**
A	B	C	D	E	F	G

7			8

7×8=56
算盤	評論
ABCDEFG
7 8	設定問題
+56	將D×A 乘以並將其加到EF
7 856
7 856	清除D
7 56	結果：7×8=56

**最終結果**
A	B	C	D	E	F	G

7				5	6

是的，你說得對；是你做了乘法，不是算盤。在下面的例子中，算盤開始顯示出它的用處。

一位數×兩位數的乘法

讓我們乘以 $7\times 83$ ，被乘數將是 83。

**7×83**
A	B	C	D	E	F	G	H

7			8	3

7×83
算盤	評論
ABCDEFGH
7 83	設定問題
+21	將E 乘以A 並將其加到FG
7 8321
7 8321	清除E
7 8 21
+56	將D 乘以A 並將其加到EF
7 8581
7 8581	清除D
7 581	結果：7×83=581

**7×83 結果**
A	B	C	D	E	F	G	H

7				5	8	1

至少，算盤可以用來在FG 和EF 中將兩個部分積加起來。

兩位數×兩位數的乘法

現在，讓我們乘以 $79\times 83$ .

**79×83**
A	B	C	D	E	F	G	H	I

7	9			8	3

標題文字
算盤	評論
ABCDEFGHI
79 83	設定問題
+21	將F 乘以A 並將其加到GH
+27	將F 乘以B 並將其加到HI
79 83237
79 83237	清除F
79 8 237
+56	將E 乘以A 並將其加到FG
+72	將E 乘以B 並將其加到GH
79 86557
79 86557	清除E
79 6557	結果：79×83=6557

**79×83 結果**
A	B	C	D	E	F	G	H	I

7	9				6	5	5	7

多位數乘法

概括之前示例中看到的內容

對於被乘數的每一位，從右邊開始

將被乘數的當前位與乘數的各位相乘（從左到右），將第一個部分積加到被乘數的當前位的右側兩列，並將其餘的積透過每次向右移動一列來依次新增。
清除當前被乘數的位。

讓我們用以下示例來觀察： $799\times 835=667165$

**799×835**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

7	9	9			8	3	5

799×835
算盤	評論
ABCDEFGHIJKL
799 835	設定問題
+35	將H乘以A，並將結果加到IJ
+45	將H乘以B，並將結果加到JK
+45	將H乘以C，並將結果加到KL
799 8353995
799 8353995	清除H
799 83 3995
+21	將G乘以A，並將結果加到HI
+27	將G乘以B，並將結果加到IJ
+27	將G乘以C，並將結果加到JK
799 8327965
799 8327965	清除G
799 8 27965
+56	將F 乘以A 並將其加到GH
+72	將F 乘以B 並將其加到HI
+72	將F乘以C，並將結果加到IJ
799 8667165
799 8667165	清除F
799 667165	結果：799×835=667165

**799×835 結果**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

7	9	9				6	6	7	1	6	5

嵌入零

**3075×2707**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M	N	O

3	0	7	5			2	7	0	7

3075×2707
算盤	評論
ABCDEFGHIJKLMNO
3075 2707	設定問題
+21	將JxA相乘，並將結果加到KL
+49	將JxC相乘，並將結果加到MN!
+35	將JxD相乘，並將結果加到NO
3075 270721525
3075 270721525	清除J
3075 27 21525
+21	將HxA相乘，並將結果加到IJ
+49	將HxC相乘，並將結果加到KL!
+35	將HxD相乘，並將結果加到LM
3075 272174025
3075 272174025	清除H
3075 2 2174025
+06	將GxA相乘，並將結果加到HI
+14	將GxC相乘，並將結果加到JK!
+10	將GxD相乘，並將結果加到KL
3075 2 8324025
3075 2 8324025	清除G
3075 8324025	結果：3075×2707=8324025

**3075×2707 結果**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M	N	O

3	0	7	5					8	3	2	4	0	2	5

個位杆和小數

請回顧所有已看到的示例，並檢查在所有情況下

積的個位所在的列位於被乘數的個位所在的列右側

n+1

列，其中

n

是乘數的位數。

這是我們正在研究的現代乘法方法中自然數乘法的普遍規律。記住這條規則很方便，因為積的末尾可能有零，例如 $32\times 1625=52000$ ；這可能會讓你感到困惑。例如

**32×1625**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			1	6	2	5u

在上圖中，被乘數的個位杆是H列（用條形上的白色圓點表示）。乘法完成後，算盤顯示

**32×1625 結果：52000**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2					5	2	0	0	0u

你需要知道結果的個位杆位於H右側 $n+1=2+1=3$ 杆處（即在J處），才能正確讀取結果52000。

我們可以將這條規則擴充套件到十進位制數

積的個位所在的列位於被乘數的個位所在的列右側

n+1

列，其中

n

是乘數的位數在小數點左側（可能為負數！）。

下表顯示了一些乘數的 $n$ 值


乘數	n
32.7	2
3.27	1
0.327	0
0.00327	-2

讓我們將 $0.0032\times 16.25$ 相乘；被乘數的個位杆是F。

**0.0032×16.25**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			1	6	2	5

對於乘數 $0.0032$ ，我們有 $n=-2$

**0.0032×16.25 結果：0.052**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			0	0	5	2

因此，積的個位杆位於F右側 $n+1=-2+1=-1$ 杆處，即F左側一杆（E），結果應讀作 $0.052$ .

參考資料

↑ Kojima, Takashi (1954), 日本算盤：其使用與理論, 東京：Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9

外部連結

練習題

Uitti, Stephen. "算盤練習題（乘法）". 算盤. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助)
"算盤生成器". 算盤練習. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助)

進一步閱讀

Kojima, Takashi (1954), "乘法", 日本算盤：其使用與理論, 東京：Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9
Heffelfinger, Totton (2004). "乘法". 算盤：珠子的秘密. Archived from the original on June 29, 2021. {{cite web}}: 未知引數 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建議) (幫助)

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首頁：使用算盤

[1] Kojima, Takashi (1954), 日本算盤：其使用與理論, 東京：Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9

[1]