線性代數/向量

向量 通常用於物理學和其他領域來表示無法用標量準確描述的量。標量 只是一個單維度上的值 - 一個實數。例如，人們可能會說他們已經駕駛了 5 公里，一個小時已經過去了，或者某物的質量是 20 公斤。在這三種情況下，都只給出了一個值。

但是，我們可能還有更多資訊需要提供。以駕駛 5 公里為例。在這種情況下，知道你駕駛了多遠可能是有用的，但知道你駕駛了哪個方向 也可能同樣重要，例如向東駕駛 5 公里。現在，給定你的起點，你駕駛的確切位置就可以確定了。

定義

向量可以用三角學 來進行數學描述。

我們可以將向量定義為由大小和方向組成的一個有序對。在該圖中，r 是該向量的長度，θ 是方向。請注意，我們現在沿水平方向移動了r cos(θ)，沿垂直方向移動了r sin(θ)。這些分別被稱為x 分量 和y 分量。

我們也可以用 x 和 y 分量來方便地寫出向量。對於向量，我們寫 ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$。在一些文字中，你可能會看到向量被寫成橫向，例如 (x, y)，但當你寫的時候，強烈建議 將它們寫成豎列。在印刷中，我們通常使用粗體向量，但由於你可能沒有用粗體列印的筆，因此請在你的向量下劃線，即寫成v，或者在你的向量下方加上波浪線。在物理學中，你偶爾可能會看到帶有向右箭頭表示的向量。

請注意，向量不必有兩個分量。我們可以有 2 或 3 或 n 個分量，或者有無窮多個分量。

我們將所有具有 2 個實數分量的向量集寫為R²；對於 3 個、n 個或無窮多個分量也是如此。對於具有複數分量的分量，我們寫為C。多項式也是“向量” - 我們將在後面檢視多項式集的符號。關於我們為什麼要這樣做，請參閱 集合論 以瞭解解釋。

拉伸和收縮

我們可以定義一些針對向量的操作。如果我們將向量擴充套件，會發生什麼？或者，如果我們將向量收縮，會發生什麼？向量的方向 不會改變，只有它的長度——它的長度。我們對向量進行拉伸或收縮的操作是將它的長度乘以某個值。我們稱這種操作為標量乘法：我們將向量 乘以一個標量 實數。

標量乘法

對於標量乘法，我們只需將每個分量乘以標量即可。我們通常用希臘字母表示標量，用英文字母表示向量。

因此，對於標量值為 λ 和由 r 和 θ 定義的向量v，新向量現在是 λr 和 θ。請注意，方向沒有改變。

示例

假設我們有 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$，我們希望將它的長度加倍。所以，$2{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$.

向量加法

簡單地說，要新增兩個向量，必須將它們各自的 x 分量加起來得到新的 x 分量，同樣地，將兩個 y 分量加起來得到新的 y 分量。

示例

假設我們有 $\mathbf {v_{1}} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$，我們希望將它們相加。因此，$\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}$。

向量減法

對兩個向量 a 和 b 進行減法運算 a-b，也可以寫成 a+(-1)b。因此，我們可以利用標量乘法求出 (-1)b 的值，然後利用向量加法求出解。

複數作為向量

^ 複數 可以表示為 $r(cos(\theta )+isin(\theta ))$ 或等效地 $re^{i\theta }$，換句話說，一個大小為 $r$、方向為 $\theta$ 的向量。在複平面中，該向量具有一個實 x 座標和一個虛 y 座標。有關詳細資訊，請參閱 複數。

直線和平面

我們可以利用向量來形成直線和平面的方程。讓我們看看如何做到這一點。

直線的向量方程

考慮一個向量 $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$。讓我們考慮以下內容

$2\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

$-\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$

$3\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$

如果我們有方程 λv，則很明顯，對於我們選擇的每個 λ，我們都會在直線 y=2x 上得到一個不同的點。

現在我們可以將這個想法推廣到直線的向量方程（它也不限於二維）。

直線的向量方程由下式給出

x=λv（對於標量 λ）

其中 v 是一個平行於（然後可能位於）直線的向量。然後，λ 是方程中的未知數。x 則是因變數向量。

平面的向量方程

現在考慮一個平面。如果我們有兩個位於平面上的非平行向量，並將它們相加，我們就可以新增一個線性組合（即，將兩個向量相加，它們只乘以標量）來選擇另一個向量。這兩個向量的線性組合下所有向量的集合構成一個平面。

更簡單地說，如果我們有兩個非平行向量 a 和 b，我們可以透過以下方式形成任何其他平行於 a 和 b 的向量

λ₁a+λ₂b=x

其中 λ₁ 和 λ₂ 都是標量。

向量進一步的代數和幾何

我們可以對向量執行其他運算。我們將要考慮的這些運算在幾何上具有非常真實且重要的意義。

大小

向量的大小是在 R⁺ 中的長度

點積

兩個向量的點積定義為它們對應分量乘積的總和。符號表示為

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}$

例如，

${\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}=3-10=-7$

點積的性質

如果我們有兩個向量a和b，

a · b = b · a

c(a · b) = ca·b = a·cb

其中c是一個標量。

點積的幾何意義

兩個向量的點積有另一種形式

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos {\theta }$

如果我們選擇一個向量c=a-b來形成一個三角形，我們可以透過三角函式證明這兩個形式確實是等價的。

因此，角θ很重要，因為它表明兩個向量的點積與它們之間的夾角有關。更準確地說，我們可以計算兩個向量的點積 - 如果點積為零，那麼我們可以說這兩個向量是垂直的。

例如，考慮

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=1-1=0$

將這些向量繪製在平面上，並自行驗證它們是否垂直。

叉積

叉積是一個更復雜的乘積定義，但具有良好的幾何性質。我們只關注三維空間中的叉積，因為它在三維空間中最常用，並且難以在更高維空間中定義。

對於具有三個分量的向量，叉積定義為

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

其中

$\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

如果你之前沒有接觸過矩陣，這裡有一個公式可以從上面推匯出...

= i $(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})$ - j$(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})$+ k $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

叉積的性質

叉積具有一些性質

a×b = -b×a

從上面的定義很容易驗證，並且

c×(a+b) = c×a+c×b

叉積的幾何性質

叉積具有一些有趣的幾何性質。

如果a 和 b 是兩個向量，a×b 是垂直於這兩個向量的向量。現在如果我們有兩個向量，我們就有了兩個垂直於a 和 b 的向量選擇 - 如果我們交換叉積的順序，我們會得到另一個向量。

兩個向量的叉積的大小是這兩個向量形成的平行四邊形的面積。

標量三重積，a·(b×c) 是這三個向量形成的平行六面體的體積。

另見

• 維基百科上的向量