吠陀數學/技巧/加減法

吠陀數學
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簡介

除了計數外，加法可能是最基本的數學運算。因此，提高其效率的技術相對較少，現有的技術基本上是組織計算的方法，使它更容易在腦中進行運算。減法類似，但在這個例子中，還有一些技巧可以幫助借位過程，與加法不同的是，借位過程可能跨越多個數字。毫無疑問，你已經直覺地使用了這裡描述的大多數加減法技巧，而沒有思考它們，許多技巧似乎過於基礎，不值得解釋，但即使只是為了讓你意識到你可能已經在使用可以擴充套件以提高你的算術能力的技巧，也值得重申它們。

記憶與計算

算術的基本事實是，你記憶得越多，你計算得就越少。你學習數字的第一件事是如何計數。你可以把它看作是將任何數字加一的的能力，例如 0+1=1，4+1=5，7+1=8，9+1=10，10+1=11，19+1=20，56+1=57。你本能地知道這些和的答案，它們是從很小的時候就開始記憶的，透過反覆從 1 計數到 100。

一旦你學會了計數，你就會學會透過計數來加法，也就是說，反覆加一（一開始通常用手指）。實際上，加法被隱式地定義為反覆加一，例如

• 加 6 + 3

 ${\begin{aligned}6+3&=6+1+1+1\\&=7+1+1\\&=8+1\\&=9\end{aligned}}$

不久之後，你就會記住新增較小數字的結果，這樣你就不必再計數（用手指或其他方式！），以找到簡單加法的答案。

這種模式不斷重複出現。當學習新的算術運算時，你最初學習如何執行它，然後在練習之後，你傾向於記憶對最常見（通常是較小）數字的運算結果，這樣你就不必實際執行運算來獲得答案。這可能是第一個也是最基本的算術技巧，即 **記憶，你就不用計算**。

現在，很明顯不可能記住所有可能的計算結果，但很明顯，一定程度的記憶是必不可少的，而且，比最低要求多記憶一些會極大地提高許多計算的效率。在何處劃定界限很難說，但以下將是一個很好的基本結果集需要記憶（我們大多數人很久以前就已經記住了這些結果）。

• 所有加起來不超過 10 的和。

 ${\begin{aligned}2+6&=?\\5+4&=?\\3+4&=?\\6+4&=?\\etc.\end{aligned}}$

• 所有組成 10 的數字組合。

 ${\begin{aligned}1+?&=10\\2+?&=10\\3+?&=10\\4+?&=10\\etc.\end{aligned}}$

僅僅記住以上內容，就可以透過劃分和重新組織來計算任何兩個一位數的和（見後文），但記住所有一對一位數的和，而不僅僅是那些不超過 10 的和，會節省很多時間。例如

• 所有一位數的和

 ${\begin{aligned}2+9&=?\\8+8&=?\\4+7&=?\\7+6&=?\\9+7&=?\\etc.\end{aligned}}$

注意，令人驚訝的是，有多少人沒有記住上面的和。你可能認為你記住了它們，但仔細考慮；你是真的從記憶中找回了結果，還是透過劃分和重新組織來算出來的？(例如，你知道 7+6=13，還是在想“它比 7+7 少一”，或者“它比 6+6 多一”。你真的知道 9+7=16，還是在想“9+7 等於 10+6”。

加法是可交換的

關於加法的第一個你要學習的事情之一是它是可交換的。也就是說，無論你是將 5 加到 6 還是將 6 加到 5，答案都是一樣的，無論項的順序如何。例如

 ${\begin{aligned}2+9&=9+2&=11\\4+15&=15+4&=19\\5+31&=31+5&=36\\7+53&=53+7&=60\\23+61&=61+23&=84\\etc.\\generally:\\a+b&=b+a\end{aligned}}$

這個概念被所有人潛意識地理解（例如，如果被要求做 3+54，你幾乎肯定會想到 54+3，然後得出 57），但明確地說 **加法是可交換的** 這一點很重要，因為這條規則在許多加法演算法中都很重要。(還應注意，其他數學運算子不可交換，例如 6-5 不 等於 5-6)。

加法是結合律的

加法的另一個最基本規律是它是結合律的。也就是說，如果你要執行多個加法，那麼執行它們的順序無關緊要。例如

 ${\begin{aligned}(2+9)+5&=2+(9+5)&=16\\(4+15)+7&=4+(15+7)&=26\\etc.\\generally:\\(a+b)+c&=a+(b+c)\end{aligned}}$

第一個技巧：擴充套件計數

在你記住如何計數後不久，你就會很快學會如何將任何數字加一，例如，你知道 8999+1=9000，即使你幾乎肯定從未從 1 計數到 9000！注意，你執行此計算時不會正式新增數字並進位結果。例如，你不會這樣做

 ${\begin{matrix}8&9&9&9&\\&&_{1}&1&+1\\\hline &&&0\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}8&9&9&9&\\&_{1}&&1&+1\\\hline &&0&0\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}8&9&9&9&\\_{1}&&&1&+1\\\hline &0&0&0\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}8&9&9&9&\\&&&1&+1\\\hline 9&0&0&0\end{matrix}}$

你而是本能地知道，當將 1 加到任何數字時，只有兩種可能的結果。

1. 如果最後一個數字不是 9，那麼答案就是這個數字的最後一個數字加 1。
2. 如果所有連續的最後一個數字都是 9，那麼你就將這些 9 替換為零，並將 1 加到第一個不是 9 的數字（從右向左）。

減去 9

減去 9 非常容易。例如： 10-1=9 100-1=99

  Here, we observe that while subtracting 1 from 0's we net the answer is only as 9's

從 10 的冪減去

你將在乘法部分看到吠陀數學口訣 **縱向和橫向** 用於乘以接近 10 的冪的數字（例如，10、100、1000 等）。該技巧的第一步是從最接近的 10 的冪減去你要處理的數字。幸運的是，另一個口訣可以幫助你進行這個初始減法。

**所有從 9 減，最後一個從 10 減** 告訴我們如何從下一個最高的 10 的冪減去一個數字；我們只需將要減去的數字的每個數字從 9 減去，除了最後一個，我們從 10 減去。就這麼簡單。例如

• 從 10000 減去 8675

${\begin{matrix}9&9&9&10\\8&6&7&5&-\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\1&3&2&5\end{matrix}}$

10000-8675=1325

你要減去的數字必須與你要減去的 10 的冪中零的個數一樣多。如果你的數字的位數少於此，你必須用前導零填充該數字。例如

• 從 100000 減去 875

${\begin{matrix}9&9&9&9&10\\0&0&8&7&5&-\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\9&9&1&2&5\end{matrix}}$

100000-875=99125

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