吠陀數學/技術/乘法

吠陀數學
先前：加法和減法	乘法	接下來：除法

介紹

有各種各樣的乘法技巧，也許大多數人最熟悉的是經典的長乘法演算法，例如

        23958233
            5830 ×
    ------------
        00000000 (= 23,958,233 ×     0)
       71874699  (= 23,958,233 ×    30)
     191665864   (= 23,958,233 ×   800)
    119791165    (= 23,958,233 × 5,000)
    ------------
    139676498390 (= 139,676,498,390)

雖然此演算法適用於任何一對數字，但它冗長，需要許多中間步驟，並且需要您記錄每個中間步驟的結果，以便您在最後將它們加起來以產生最終答案。但是，當要乘的數字屬於某些類別時，可以使用捷徑來避免長乘法中涉及的大部分工作。有很多這樣的“特殊情況”，其中一些允許看似複雜的乘法在腦海中完成，實際上可以讓你直接寫下答案。

乘法的特殊情況

當乘以某些數字時，可以使用許多簡單的技巧。它們本身非常有用，但在與其他技巧結合使用時，它們甚至更有用，因為它們可以促進解決更困難的問題。

乘以 11

要將任何數字乘以 11，請執行以下操作
從右到左開始

寫下起始數字的最右邊一位。
將每對數字相加並將結果寫下來（如果需要，將數字從右到左進位）。
最後寫下最左邊的數字（如果需要，加上最終的進位）。

就這麼簡單，例如

將 712 乘以 11

 ${\begin{matrix}&7&&1&&2\\&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow \\7&&8&&3&&2\end{matrix}}$

712x11=7832

從右到左而不是更常見的從左到右的原因是為了能夠新增進位。例如

將 8738 乘以 11

 ${\begin{matrix}&8&&7&&3&&8\\&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow \\9&\leftarrow _{1}&6&\leftarrow _{1}&1&\leftarrow _{1}&1&&8\end{matrix}}$

8738x11=96118

乘以 15

將乘以 15 分解為乘以 10 加上乘以 5。乘以 10 只需在數字末尾加一個 0，乘以 5 是乘以 10 的一半，如上所述，例如 15 x 33 = [10 x 33] + [5 x 33] = 330 + [(10 x 33) / 2] = 330 + [330 / 2] = 330 + 165 = 495 這在你的腦海中做起來比寫下來容易！例如，要將 15 乘以 27，你首先將 27 乘以 10，得到 270，然後“再加一半”，即 270 的一半是 135，將它加到 270 中得到 405，這就是你的答案。

兩個一位數的乘法

雖然大多數人都記住了從 1x1 到 10x10 的乘法表，但吠陀經文之一（縱向和交叉）允許你將任何一對一位數相乘，而無需使用超過 5x 的乘法表。雖然這可能不是特別有用，但該演算法很好地介紹了吠陀技巧背後的某些想法，因此值得花時間學習和理解，因為基本思想在後面得到了擴充套件。正因為如此，我將比它可能需要的更詳細地介紹該過程。該技術如下

如果兩個數字中有一個小於 6，則直接從記憶中回憶答案（你需要知道你的乘法表直到 5x，希望這不是什麼大問題！）。如果兩個數字都大於 5，則繼續。
寫下（或想象）兩個一位數，一個在另一個上面，在它們下面畫一條答案線。
從每個數字中減去 10，並將結果放在原始數字的右邊。
縱向：將右邊兩個數字（前面步驟中減法的結果）相乘，並將答案放在答案線下的它們下方（這是答案的第一部分）。由於原始數字大於 5，因此這些數字將始終小於 5（因為原始數字是從 10 中減去的），因此你不需要使用超過 4x 的乘法表。如果乘法的結果大於或等於 10，則只在答案線上寫下最右邊一位數字，並記住將另一位數字進位到下一步。
交叉：選擇一個原始數字（哪個都可以，答案都一樣），並減去它對角線上的數字。如果前面步驟中沒有進位，則直接在答案線上的原始數字下方寫下結果；如果有進位，則在將結果寫到答案線上之前將其加到結果中。

就是這樣，答案線上的數字就是最終答案。該技術非常簡單，但寫下來一步一步地看就比實際要複雜得多。以下示例應闡明該過程。

將 8 乘以 6

按照上面步驟 1 到 3，將數字寫下來，一個在另一個上面，從每個數字中減去 10，並將答案寫在每個數字的右邊

 ${\begin{matrix}8&\longrightarrow &2&(10-8=2)\\\\6&\longrightarrow &4&(10-6=4)\\\hline \quad \end{matrix}}$

現在，按照步驟 4（縱向），將右邊兩個數字相乘，並寫下答案。

 ${\begin{matrix}8&&2\\&&\downarrow \\6&&4\\\hline &&8&(2\times 4=8)\end{matrix}}$

最後，按照步驟 5（交叉），沿任何對角線進行減法（無論哪種方式，答案都相同），並寫下答案。

 ${\begin{matrix}&8&&2\\&&\swarrow &\\&6&&4\\\hline (6-2=4)&4&&8\end{matrix}}$

所以 8 x 6 等於 48，正如預期的那樣，但從上面的順序可以看出，為了計算出這個結果，你只需要知道如何減去小數字以及如何將 2 乘以 4。

將 7 乘以 8

 ${\begin{matrix}7&\longrightarrow &3\\\\8&\longrightarrow &2\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&&\downarrow \\8&&2\\\hline &&6\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&\swarrow &\\8&&2\\\hline 5&&6\end{matrix}}$

得到答案 56，正如預期的那樣。
下一個例子涉及最後兩個階段之間的進位。

將 7 乘以 6

 ${\begin{matrix}7&\longrightarrow &3\\\\6&\longrightarrow &4\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&&\downarrow \\6&_{1}&4\\\hline &&2\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&\swarrow &\\6&_{1}&4\\\hline 3&&2\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&&\\6&&4\\\hline 4&&2\end{matrix}}$

正如你所見，第二（縱向）階段的乘法（3x4）結果為 12，2 寫下來，1 進位。交叉階段的減法（6-3）結果為 3，但你必須將前一步的進位 1 加到結果中，結果為 4。最終答案是 42。

這對於做一些你只需要從記憶中回憶的簡單乘法來說可能看起來很費力，但重要的是要學習這種技巧，因為它會在後面得到擴充套件。如果你有興趣提高心算能力，嘗試在腦海中做這個過程，想象數字像上面那樣排列出來。在繼續下一個技巧之前，現在試一試；閉上眼睛，使用上面的過程將 6 乘以 6......
你應該想象了以下內容

將 6 乘以 6

 ${\begin{matrix}6&\longrightarrow &4\\\\6&\longrightarrow &4\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}6&&4\\&&\downarrow \\6&_{1}&4\\\hline &&6&\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}6&&4\\&\swarrow &\\6&_{1}&4\\\hline 2&&6\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}6&&4\\&&\\6&&4\\\hline 3&&6&\end{matrix}}$

將兩個數字在 89 到 100 之間相乘

上面的技巧實際上適用於任何兩個數字，但它只有在它比傳統的長乘法更容易時才有用。要記住的關鍵是，使用這種技巧，你最終會將減去的數字相乘，而不是將原始數字相乘，也就是說，只有在這些減去的數字小於原始數字時它才比普通乘法更容易，因此我們只將上面的技巧用於大於 5 的數字（因為減去的數字將小於或等於 4）。

當該技巧擴充套件到兩位數時，在“縱向”階段，您需要將每個數字從 100 中減去，而不是從 10 中減去，因此該技巧只有在其中一個或兩個數字的減法結果較小時才更容易，當一個或兩個數字接近 100 時，情況顯然如此。請看下面的示例

89 乘以 97

 ${\begin{matrix}89&\longrightarrow &11&(100-89=11)\\\\97&\longrightarrow &3&(100-97=3)\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}89&&11\\&&\downarrow \\97&&3\\\hline &&33&(3\times 11=33)\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}&89&&11\\&&\nwarrow &\\&97&&3\\\hline (89-3=86)&86&&33\end{matrix}}$

所以 89x97=8633。
現在，該技巧的強大功能變得清晰。在引言中，我問你是否想快速地在腦海中計算出 89x97 的結果，你現在應該明白這實際上相當容易。你首先將兩個數字在腦海中一個疊一個地視覺化，然後分別從 100 中減去它們，得到 11 和 3，將每個結果在腦海中放在原始數字的右邊。接下來，將 11 和 3 相乘，得到 33。（注意，由於我們現在處理的是兩位數，除非此乘法的結果為 100 或更大，否則我們不進位）。我們現在有了答案的最後兩位數字 (33)，現在我們要做的就是沿任一斜線減去以獲得前兩位數字。我們可以選擇任何一條斜線，因為它們總是給出相同的答案，但是 89-3=86 可能比 97-11=86 更容易。最終答案是這兩個部分的拼接，得到 8633
如果你練習這個技巧，你會發現你可以在不寫任何東西的情況下完成兩位數的乘法。現在試試，在腦海中計算 95x93 的結果，嘗試將上面的步驟視覺化。
你應該得到以下結果

95 乘以 93

 ${\begin{matrix}95&\longrightarrow &5\\\\93&\longrightarrow &7\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}95&&5\\&&\downarrow \\93&&7\\\hline &&35\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}95&&5\\&\nwarrow &\\93&&7\\\hline 88&&35\end{matrix}}$

95x93=8835

記住，為什麼這個技巧比普通的乘法更容易，是因為你只需要將減法結果相乘。這意味著你通常可以在只有一個數字接近 100 的情況下使用它，因為在這種情況下乘法仍然很容易。例如。

97 乘以 69

 ${\begin{matrix}97&\longrightarrow &3\\\\69&\longrightarrow &31\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}97&&3\\&&\downarrow \\69&&31\\\hline &&93\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}97&&3\\&\swarrow &\\69&&31\\\hline 66&&93\end{matrix}}$

97x69=6693

96 乘以 88

 ${\begin{matrix}96&\longrightarrow &4\\\\88&\longrightarrow &12\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}96&&4\\&&\downarrow \\88&&12\\\hline &&48\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}96&&4\\&\swarrow &\\88&&12\\\hline 84&&48\end{matrix}}$

96x88=8448

相同的技巧適用於略大於 100 的數字，只是現在你必須在“交叉”步驟中新增。例如。

105 乘以 107

 ${\begin{matrix}105&\longrightarrow &5\\\\107&\longrightarrow &7\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}105&&5\\&&\downarrow \\107&&7\\\hline &&35\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}105&&5\\&\swarrow &\\107&&7\\\hline 112&&35\end{matrix}}$

105x107=11235

有許多方法可以記住該技巧對大於 100 的數字的擴充套件。如果你熟悉符號乘法規則（即 -x-=+, -x+=-，等等），那麼你根本不需要改變該技巧，因為你會明白 100-105 = -5 且 100-107=-7，然後 (-7)x(-5)=35，以及 107-(-5)=107+5=112。
如果你不習慣這樣，你可以反轉初始減法，當原始數字大於 100 時（或者只記住你需要原始數字和 100 之間的差，即 105-100 = 5 而不是 100-105 = -5），然後還要記住，如果你想要減去的數字來自大於 100 的原始數字，你需要將“交叉”減法改為加法。
試著在腦海中計算以下示例。

109 乘以 108

 ${\begin{matrix}109&\longrightarrow &9\\\\108&\longrightarrow &8\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}109&&9\\&&\downarrow \\108&&8\\\hline &&72\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}109&&9\\&\swarrow &\\108&&8\\\hline 117&&72\end{matrix}}$

109x108=11772

115 乘以 106

 ${\begin{matrix}115&\longrightarrow &15\\\\106&\longrightarrow &6\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}115&&15\\&&\downarrow \\106&&6\\\hline &&90\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}115&&15\\&\swarrow &\\106&&6\\\hline 121&&90\end{matrix}}$

115x106=12190

123 乘以 103

 ${\begin{matrix}123&\longrightarrow &23\\\\103&\longrightarrow &3\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}123&&23\\&&\downarrow \\103&&3\\\hline &&69\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}123&&23\\&\swarrow &\\103&&3\\\hline 126&&69\end{matrix}}$

123x103=12669

和之前一樣，如果“縱向”乘法的第一個數字超過兩位數，你需要進位。例如。

133 乘以 120

 ${\begin{matrix}133&\longrightarrow &33\\\\120&\longrightarrow &20\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}133&&33\\&&\downarrow \\120&_{6}&20\\\hline &&60\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}133&&33\\&\swarrow &\\120&_{6}&20\\\hline 153&&60\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}133&&33\\&&\\120&&20\\\hline 159&&60\end{matrix}}$

133x120=15960

組合技巧

吠陀體系的一個關鍵思想是，你可以將技巧結合起來解決問題。你應該以靈活的方式看待問題，並使用最適合特定問題（以及你大腦工作方式）的技巧組合。現在討論這個問題可能有點早，因為我們到目前為止只介紹了一個主要的技巧，但即使在這個階段，也可以將“縱向和交叉”乘法技巧與已經描述的特殊情況乘法技巧相結合，以處理兩個數字都遠離 100、1000 等的情況。

例如，使用“乘以 10 再加一半”的規則來乘以 15，可以讓你輕鬆處理遠離 10、100、1000 等的數字，如果其中一個數字與你的“基數”相差 15，例如。

66 乘以 85

 ${\begin{matrix}66&\longrightarrow &34\\\\85&\longrightarrow &15\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}66&&34\\&&\downarrow \\85&_{5}&15\\\hline &&10\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}66&&34\\&\nwarrow &\\85&_{5}&15\\\hline 51&&10\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}66&&34\\&&\\85&&15\\\hline 56&&10\end{matrix}}$

66x85=5610
你可以看到，“縱向”乘法的結果為 510 (34x15 = 340 “再加一半” = 340 + 170 = 510)。510 有 3 位數字，因此我們寫下最後兩位數字 (10)，並將前面的 5 進位。然後我們在最容易的斜線上進行“交叉”減法 (66-15 = 51)，並加上進位 (5)，然後寫下最終答案 (56)。

擴充套件乘法技巧

上面描述的相同“縱向”技巧適用於任何數字，但它在接近 10 的冪的數字時特別有用，即 10、100、1000、10000、100000 等。只要初始減法的結果是“更容易”相乘的數字，它就是一個有用的技巧。例如。

1232 乘以 1003

 ${\begin{matrix}1232&\longrightarrow &232\\\\1003&\longrightarrow &3\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}1232&&232\\&&\downarrow \\1003&&3\\\hline &&696\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}1232&&232\\&\swarrow &\\1003&&3\\\hline 1235&&696\end{matrix}}$

1232x1003=1235696
由於我們處理的是接近 1000 的數字，因此我們在計算初始差值時，從 1000 而不是 100 中減去，並且只有在“縱向”乘法結果大於或等於 1000 時才進位。

9960 乘以 9850

 ${\begin{matrix}9960&\longrightarrow &40\\\\9850&\longrightarrow &150\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}9960&&40\\&&\downarrow \\9850&&150\\\hline &&6000\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}9960&&40\\&\swarrow &\\9850&&150\\\hline 9810&&6000\end{matrix}}$

9960x9850=98106000
在這種情況下，數字略小於 10000，因此我們最初從 10000 中減去，我們在“交叉”階段也減去，並且只有在“縱向”乘法結果大於或等於 10000 時才進位。（在這種特定情況下，可能更簡單的方法是使用“縱向和交叉”技巧計算 996x985，然後在答案的末尾新增兩個零。）

89684 乘以 99989

 ${\begin{matrix}89684&\longrightarrow &10316\\\\99989&\longrightarrow &11\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}89684&&10316\\&&\downarrow \\99989&_{1}&11\\\hline &&13476\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}89684&&10316\\&\nwarrow &\\99989&_{1}&11\\\hline 89673&&13476\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}89684&&10316\\&&\\99989&&11\\\hline 89674&&13476\end{matrix}}$

89684x99989=8967413476
注意上面示例中技巧的組合，即 89684 和 100000 之間的差值很容易使用從 10 的冪減去的特殊情況技巧得出（即使用口訣“所有數字從 9 中減去，最後一個數字從 10 中減去”）。還使用了乘以 11 的特殊情況技巧。

98688 乘以 99997

 ${\begin{matrix}98688&\longrightarrow &1312\\\\99997&\longrightarrow &3\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}98688&&1312\\&&\downarrow \\99997&&3\\\hline &&3936\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}98688&&1312\\&\swarrow &\\99997&&3\\\hline 98685&&03936\end{matrix}}$

98688x99997=9868503936
在這個示例中，數字略小於 100000，因此初始減法是從 100000 中減去。這裡要注意的是，“縱向”乘法的結果必須透過在左側新增一個額外的零來填充為 5 位數字（03936 而不是 3936）。這通常也是正確的，即“縱向”乘法的結果的位數必須始終與“基數”中的零的位數相同（即 100、1000、100000 等）。

值得記住的是，即使在如此早期的階段，我們已經取得了多大的進步。即使你寫下計算過程，使用吠陀方法進行上面的乘法仍然比使用傳統的長乘法效率更高。例如。

使用長乘法計算 98688 乘以 99997

           98688
           99997 ×
      ----------
          690816 (= 98688 ×     7)
         8881920 (= 98688 ×    90)
        88819200 (= 98688 ×   900)
       888192000 (= 98688 ×  9000)
      8881920000 (= 98688 × 90000)
      ----------
      9868503936

這種乘法技巧可以進一步擴充套件，以涵蓋一個數字略大於 10 的冪，另一個數字略小於相同 10 的冪的情況。在這種情況下，使用 + 或 - 符號分別記錄原始數字是大於還是小於“基數”10 的冪是有利的。例如。

111 乘以 88

 ${\begin{matrix}111&\longrightarrow &+11\\\\88&\longrightarrow &-12\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&&\downarrow \\88&&-12\\\hline &&-132\end{matrix}}$

注意，“縱向”乘法的結果現在為負數，因為你相乘的兩個數字的符號不同。此外，由於我們的“基數”是 100，我們只能在答案部分寫下 2 位數字，因此“-132”的前導“-1”必須進位；因此

 ${\begin{matrix}111&&+11\\&&\downarrow \\88&&-12\\\hline &&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&&\\88&_{-1}&-12\\\hline &&-32\end{matrix}}$

現在我們在答案部分有 -32。我們必須透過用它的“補碼”替換它來轉換這個負數，即與它相加得到 100 的那個數字。在這種情況下，32+68=100，因此我們將 -32 替換為 68。每當我們進行這種替換時，我們還必須從進位中減去 1（即在這種情況下，進位從 -1 變為 -2）。完成此操作後，我們繼續進行之前的步驟；因此

 ${\begin{matrix}111&&+11\\&&\\88&_{-1}&-12\\\hline &&-32\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&&\\88&_{-2}&-12\\\hline &&68\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&\swarrow &\\88&_{-2}&-12\\\hline 99&&68\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&&\\88&&-12\\\hline 97&&68\end{matrix}}$

111x88=9768
注意，在這個示例中，我們在“交叉”步驟中將 11 加到了 88 上，因為 11 被寫成了 +11。要注意這個符號。如果我們使用另一條斜線，則計算結果為 111-12（結果為相同的答案 99），因為 12 被寫成了 -12。現在所有這些可能看起來有點複雜，但是你不會明確地寫下上面每個步驟，我只是為了清楚地說明正在發生的事情才這樣做。實際上，“補碼和進位”步驟會直接寫下，例如。

97 乘以 104

 ${\begin{matrix}97&\longrightarrow &-3\\\\104&\longrightarrow &+4\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}97&&-3\\&&\downarrow \\104&_{-1}&+4\\\hline &&88\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}97&&-3\\&\nwarrow &\\104&_{-1}&+4\\\hline 100&&88\end{matrix}}$

97x104=10088
在上面的例子中，在找到初始差值（-3 和 +4）之後，將它們相乘得到 -12，但然後你記得負數不能寫下，因此它被補充為 88 (12+88=100)，並且進位減去 1（由於在這個例子中沒有進位，進位變為 -1）。最後執行“交叉”步驟（在本例中為 97+4=101），並將進位減去（101-1=100），得到 100。最終答案是兩個部分的拼接，如往常一樣，即 10088。
一些進一步的示例應該可以使這個過程更清晰。試著在閱讀工作步驟之前先在腦海中計算它們。

103 乘以 87

 ${\begin{matrix}103&\longrightarrow &+3\\\\87&\longrightarrow &-13\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}103&&+3\\&&\downarrow \\87&_{-1}&-13\\\hline &&61\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}103&&+3\\&\swarrow &\\87&_{-1}&-13\\\hline 89&&61\end{matrix}}$

103x87=8961

998 乘以 1004

 ${\begin{matrix}998&\longrightarrow &-2\\\\1004&\longrightarrow &+4\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}998&&-2\\&&\downarrow \\1004&_{-1}&+4\\\hline &&992\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}998&&-2\\&\nwarrow &\\1004&_{-1}&+4\\\hline 1001&&992\end{matrix}}$

998x1004=1001992
在上面的例子中，基數現在是 1000，垂直乘法的結果是 -8，得到補碼為 **992**。

將 1234 乘以 989

 ${\begin{matrix}1234&\longrightarrow &+234\\\\989&\longrightarrow &-11\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}1234&&+234\\&&\downarrow \\989&_{-3}&-11\\\hline &&426\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}1234&&+234\\&\nwarrow &\\989&_{-3}&-11\\\hline 1220&&426\end{matrix}}$

1234x989=1220426
上面的例子值得解釋，因為它展示了多種技術的應用。首先，寫下初始餘數，即 **+234** 和 **-11**。然後，我們使用特殊情況技術將 234 乘以 -11，得到 **-2574**。這會產生 **-2** 的進位和 **-574** 的餘數。將餘數與 1000 相減以求其補碼，使用從 10 的冪中減去的特殊情況方法完成，（即使用口訣 **所有從 9 減，最後一個從 10 減**），得到 **426**，進位減少 1，從 **-2** 變為 **-3**。最後，執行考慮進位的 **交叉** 減法，（1234-11-3）得到 **1220**，最終答案為 **1220426**。

乘以兩個“密切相關”的數字

現在我們準備好將上面描述的乘法技術擴充套件到最一般的情況，即任何兩個“密切相關”數字的乘法。“密切相關”的精確定義是

“與“10 的比例冪”距離很小的數字，使得原始數字與該比例 10 的冪之間的差值很容易相乘”。

這聽起來可能很複雜，但實際上很簡單。首先，“10 的比例冪”只是一個簡單的 10 的冪的倍數或除法，10 的冪為 10、100、1000、10000 等。因此，10 的比例冪為 10、20、25、30、40、... 80、90、100、200、250、300、... 800、900 等。（注意，25、250 等在這個定義中是 10 的比例冪，因為它們是 10 的冪的簡單除法，例如 100/4=25）。
因此，如果要乘以的兩個數字都“接近”這些數字之一（即，餘數足夠小，以便您可以輕鬆地相乘它們），那麼可以使用擴充套件技術。這種擴充套件技術只是將子口訣 Anurupyena 或 **按比例** 新增到上面已經描述的技術中。擴充套件 **垂直和交叉** 技術的完整描述是

將要乘以的兩個數字分別放在一行，在下方留下一條答案線。
選擇一個 **“工作基數”**，它接近這兩個數字，它必須是 **“10 的比例冪”**。**“理論基數”** 是實際的 10 的冪，在您將其乘以或除以以獲得您的 **“工作基數”** 之前。例如，如果 **“工作基數”** 是 25，那麼 **“理論基數”** 將是 100（在這種情況下，**“理論基數”** 100 將被 4 除以獲得 **“工作基數”** 25）。記住您所做的 **“比例性”**，（例如，如果您除以 4 或乘以 3 等），您將使用這種 **“比例性”** 來糾正答案的左側。
從每個原始數字中減去 **“工作基數”** 並將結果放在每個數字的右側，（記住要包括結果的符號，例如 21-25=-4，28-25=+3）。我們將這些結果稱為 **“餘數”**。
**垂直** 乘以上面得到的 **“餘數”**，注意結果的符號，（即，如果 **“餘數”** 的符號 **不同**，那麼乘法結果的符號將是 **負的**，如果 **“餘數”** 的符號 **相同**，那麼結果將是 **正的**。我們將此稱為 **“垂直結果”**。
按照特定對角線上出現的符號進行 **交叉** 加或減，（無論選擇哪個對角線，您都會得到相同的答案，因此選擇最簡單的計算來建立 **“交叉結果”**）。
透過重複用於建立 **“工作基數”** 的 **“比例性”** 來 “糾正” **“交叉結果”**，（例如，如果您除以 4 來獲得您的 **“工作基數”**，那麼也用 4 除以 **“交叉結果”**）。請注意，如果比例性是除法，並且這導致了結果包含小數部分，那麼必須透過將相同的小數比例的理論基數加到先前計算的 **“垂直結果”** 中，將該小數部分轉移到答案的右側。
如果現在 **“垂直結果”** 中的位數過多（即超過 **“理論基數”** 中的零的個數），那麼您必須將前導位數進位到下一階段，記住要保留符號。我們將去除任何進位後的 **垂直** 乘法的結果稱為 **“餘數”**。
如果 **“餘數”** 為正，則可以將其直接放在答案線上，如果為負，則必須用其補碼替換，然後將其放在答案線上，（記住一個數字的補碼是該數字與 **“理論基數”** 相減的結果）。如果您必須用補碼替換 **“餘數”** 以使其變為正數，那麼您還必須將進位減少 1，（如果沒有進位，那麼進位變為 -1）
將任何進位（根據其符號）加或減到上面糾正的交叉結果，將此結果放在答案線上的 **“餘數”** 部分的左側。
就是這樣，答案線上的數字是原始乘法的結果。

現在，這一切聽起來非常複雜，但實際上寫下（和閱讀）這些步驟比實際執行它們要困難得多！事實上，您已經在前面的許多例子中遵循了所有步驟，唯一的額外步驟是 **“按比例”** 計算。一些例子將會澄清。

將 489 乘以 512

 ${\begin{aligned}W.B.=500=100\times 5&\\{\begin{matrix}489&\longrightarrow &-11\\\\512&\longrightarrow &+12\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad &{\begin{matrix}489&&-11\\&&\downarrow \\512&&+12\\\hline &&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&\swarrow &\\512&&+12\\\hline 501&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 5\times 501&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad \end{aligned}}$

正如您在上面看到的，首先選擇 **“工作基數”** 為 **500**，因為它接近這兩個數字，在這種情況下，我們使用 **“理論基數”** 為 **100** 和 **“比例性”** 為 **x5**，（我們也可以使用 1000 和 ÷2，這將在下一個例子中看到）。然後找到 **“餘數”**，即 **-11** 和 **+12**，然後將它們相乘得到 **-132**（這裡使用乘以 11 的規則，得到 132，但由於餘數符號不同，因此答案為 -132）。現在我們 **交叉** 減去 512-11，得到 **501**（如果需要，我們可以選擇另一個對角線，即 489+12=501，兩者都給出相同的答案）。然後，我們透過重複最初的 **按比例** 步驟來 “糾正” 交叉減法，即 501x5=**2505**。

 ${\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 2505&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&_{-1}&+12\\\hline 2505&&-32\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&_{-2}&+12\\\hline 2505&&68\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 2503&&68\end{matrix}}$

我們最多隻能在 **“餘數”** 結果中保留兩位數，因為我們的 **“理論基數”** 是 100，所以我們必須進位 -1，在答案線上保留 **-32**，但是我們也不能在答案線上放置負數，因此我們對 **-32** 求補碼，得到 **68**（然後將進位減少 1 至 **-2**）。最後，我們減去進位，得到 2503。因此，最終答案是兩部分的連線，即 **250368**
這個計算是儘可能複雜的，並且每個步驟都被有意地分解成其組成部分，以便您可以更容易地看到和理解每個步驟，但請記住，您不會像這樣寫下每個步驟，通常您要麼在腦海中完成所有步驟，要麼只直接寫下部分答案。
您可以在下面看到，選擇另一種 **比例性**（即 1000÷2）會得到相同的答案

將 489 乘以 512

 ${\begin{aligned}W.B.=500=1000\div 2&\\{\begin{matrix}489&\longrightarrow &-11\\\\512&\longrightarrow &+12\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad &{\begin{matrix}489&&-11\\&&\downarrow \\512&&+12\\\hline &&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&\swarrow &\\512&&+12\\\hline 501\div 2&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad \end{aligned}}$

您可以在上面看到，我們正在執行相同的乘法（**489x512**），我們仍然使用 **“工作基數”** 為 500，但這次 **“理論基數”** 為 1000，**“比例性”** 為 ÷2。計算過程與之前相同，對角線減法得到 **501**，但這次 **“比例性”** 為 ÷2，因此我們必須將 501 除以 2，得到 250½。

 ${\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 250{\frac {1}{2}}&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 250&&368\end{matrix}}$

我們不能在答案中寫 ½，因此我們將它作為 **“理論基數”** 的一半（即 1000÷2=500）轉移回餘數列，並加到已經存在的 -132 中，得到 **368**。
使用吠陀數學技術解決數值問題的方式多種多樣，這是該體系的一個主要優勢。隨著練習，您將對使用數字更有信心，並對算術有更深入的理解。但是，在上述技術中必須記住一個要點，即

您 **不能** 在 “糾正” 過程開始時應用的任何初始 **比例性** 對 **交叉** 計算進行任何 “糾正” 之前處理任何進位。

在 “糾正” 答案的左側以反映 **比例性** 之前嘗試處理進位是一個常見的錯誤。如果您這樣做，答案將是錯誤的。

吠陀數學
先前：加法和減法	乘法	接下來：除法