A-level 數學/OCR/FP1/複數

虛數

在理解複數之前，我們需要了解虛數單位 i。i 出現在需要計算負數的平方根時。

考慮方程 $x^{2}=-1$。從這個方程可以看出

$x={\sqrt {-1}}$

所有的邏輯都告訴你，你不能將任何東西乘以它本身並得到一個負數，這是真的。所以我們將它賦予一個 i 的值。

$i={\sqrt {-1}}$

從這個式子我們可以看到

$i^{2}=-1$

從這裡我們可以推匯出

$i^{3}=-i$

由於 $i^{3}=i^{2}\cdot i^{1}$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

因此，$-1\cdot i=-i$

最後

有用提示！
在處理 $i$ 的冪時，有些人發現成對處理 $i$ 有用。例如，將 $i^{4}$ 看作 $i^{2}\cdot i^{2}$。

$i^{4}=1$

因為 -1 的平方等於 1。

有了這個，我們有了一個非常有用的工具，現在可以進行負數的平方根了。

複數的簡單運算

複數是由一個實數和一個虛陣列成的數字。它們的形式為 $x+yi$。（其中 $x$ 和 $y$ 是實數，$i$ 是虛數單位）。

複數的加法與你想象的一樣。例如，兩個複數 (2+3i) 和 (3+4i) 的加法，就是將實部相加 (在本例中：2 + 3 = 5) 和虛部相加 (3i + 4i = 7i)，最終得到複數 (5 + 7i)。

減法也是一樣的。以我們的例子複數 (2+3i) 和 (3+4i) 為例，我們只需要將實部相減 (2 - 3 = -1) 和虛部相減 (3i - 4i = -i)，即可得到新的複數 (-1-i)。

乘法就像展開二次方程和三次方程一樣。簡單來說，你只需要將兩個複數並排寫，然後進行展開乘法。以我們的例子複數為例，我們將進行以下操作

$(2+3i)(3+4i)=(2\cdot 3)+(2\cdot 4i)+(3i\cdot 3)+(3i\cdot 4i)=6+8i+9i+12i^{2}=12i^{2}+17i+6$

實際上，你可以將 $i$ 看作是二次方程中的 $x$，並用相同的方式進行處理，然後用 $-1$ 代替 $i^{2}$，用 $-i$ 代替 $i^{3}$，用 $1$ 代替 $i^{4}$。

阿根圖

複數的模是指連線阿根圖原點和代表該複數的點的線段的長度，它由以下公式給出：

$|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

其中 $z=x+yi$。

複數的輻角是指複數點相對於實軸 (x軸) 的角度 (以弧度為單位)，從實軸逆時針方向測量。複數 z 的輻角，記為 arg(z)，由以下公式給出：

$\theta =\arctan \left({\tfrac {y}{x}}\right)$

如果複數位於第一象限。

在阿根圖上表示覆數時，我們可以看到

$\sin(\theta )={\frac {y}{r}}$

$y=r\sin(\theta )$

同樣

$x=r\cos(\theta )$

由於複數 z 可以用 x+iy 表示，

$z=r\cos(\theta )+ir\sin(\theta )$

$z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$

複數可以用直角座標或極座標表示。極座標形式為

$z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$

其中$r$ 是 $|z|$，而 $\theta$ 是 z 的輻角。

複數的極座標形式與我們表示向量的形式非常相似。因此，複數的模類似於 x 和 y 分量的合向量，輻角是合向量的方向。

尤拉公式是

$e^{\theta i}=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$

將此代入複數的極座標形式，我們可以看到，另一種寫複數 z 的方法是

$|z|e^{i\arg(z)}$

共軛複數和方程

共軛複數只是 Argand 圖中座標的反射。它們關於實軸反射，因此只有虛部座標發生變化（例如，從 2 + 2i 變為 2 - 2i）。換句話說，虛部的符號發生變化（從負變為正或從正變為負）。

共軛複數在除複數時很有用，因為可以透過將分數的分子和分母乘以分母的共軛複數來使分母變為實數，例如：${\frac {2+4i}{1+i}}={\frac {(2+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}}={\frac {2+2i+4}{1+1}}={\frac {6+2i}{2}}=3+i$

這被稱為對分母進行“化實”（類似於實數的“有理化”）。

共軛複數在解具有實係數的方程時也很有用。如果這樣的方程有一個復根，那麼這個複數的共軛複數也將是該方程的根，這使得您在大多數情況下能夠完全分解考試中的方程。

如果一個多項式具有實係數，並且任何一個根是複數，那麼這些複數根將以共軛對的形式出現。

示例：已知$-1+2i$ 是方程$x^{3}+4x^{2}+9x+10=0$ 的一個解，求該方程的其他根。

我們自動知道另一個根是$-1-2i$（因為以上多項式的係數都是實數），因此我們可以開始形成該方程的因式分解

$x^{3}+4x^{2}+9x+10=(x-b)(x-(-1+2i))(x-(-1-2i))$ .

$=(x-b)(x^{2}+x+2xi+x+1+2i-2xi-2i-4i^{2})$

$=(x-b)(x^{2}+2x+5)$

$=x^{3}+2x^{2}+5x-bx^{2}-2bx-5b$

$=x^{3}+(2-b)x^{2}+(5-2b)x-5b$

$\Rightarrow {\begin{cases}(2-b)=4\\(5-2b)=9\\-5b=10\end{cases}}$

$\Rightarrow b=-2$

現在我們已經瞭解了複數，可以開始求解判別式為負數的二次方程（即在笛卡爾座標系中不與x軸相交或相切的二次方程）。

示例： 求解方程 $x^{2}-2x+5=0$ .

由於 $b^{2}-4ac=-16$ 我們知道該方程沒有實數根。使用二次方程公式

$x={\frac {2\pm {\sqrt {-16}}}{2}}$

$\Rightarrow x={\frac {2\pm 4i}{2}}$

$\Rightarrow x=1\pm 2i$

複數的平方根

每個複數都有兩個複數平方根。為了找到一般複數 x+yi 的平方根，我們將答案表示為 p+iq 並使之相等

$(p+qi)^{2}=x+yi$

$p^{2}+2ipq-q^{2}=x+yi$

由於 x 是等式右邊唯一的實數項，它必須等於 $p^{2}-q^{2}$ ，這是等式左邊 的實數項。同樣，y 必須等於 2pq。這是一條普遍規則

如果兩個複數 p+qi 和 r+si 相等，當且僅當 $p=r$ 且 $q=s$.

如果我們試圖找到 2+4i 的平方根，我們將得到

$p^{2}-q^{2}=2$

$2pq=4$

$\Rightarrow p={\frac {4}{2q}}$

代入

$\left({\frac {4}{2q}}\right)^{2}-q^{2}=2$

$\Rightarrow {\frac {16}{4q^{2}}}-q^{2}=2$

乘以$4q^{2}$ 

$16-4q^{4}=8q^{2}$

$\Rightarrow 4q^{4}+8q^{2}-16=0$

$\Rightarrow q^{4}+2q^{2}-4=0$

用u替換q²

$u^{2}+2u-4=0$

使用二次方程公式

$u={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4\cdot 1(-4)}}}{2}}$

$\Rightarrow u={\frac {-2\pm {\sqrt {20}}}{2}}$

由於q是實數，它必須等於u的正值的平方根

$q={\sqrt {\frac {-2+{\sqrt {20}}}{2}}}={\sqrt {-1+{\frac {2{\sqrt {5}}}{2}}}}=\pm {\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}$

如果$q={\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}$ 那麼

$p={\frac {4}{2{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}={\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}$

如果$q=-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}$ 那麼

$p={\frac {4}{2\cdot \left(-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}\right)}}=-{\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}$

因此 p+qi 為

${\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}\right)i\ ,\ -{\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}\right)i\ \Rightarrow \ p+qi=\pm \left({\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}\right)i\right)$

這是FP1（高等純數學 1）模組的一部分，屬於A-level 數學課本。