A-level 數學/OCR/FP1/矩陣

矩陣是一個以標準形式呈現的數字（元素）陣列，例如以下所示。如果您想在一個代數表示式中使用它，通常使用大寫字母作為識別符號。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}$

矩陣的階數是行數乘以列數，例如上面矩陣的階數是 $[2\times 3]$ （讀作二乘三）。

直觀地說，如果矩陣的行數和列數相同，則稱該矩陣為方陣，我們也可以說列矩陣是指只有一列的矩陣，行矩陣是指只有一行的矩陣。

操作

矩陣加法

矩陣加法與您期望的一樣：取第一個矩陣中的一個數字，並將其加到第二個矩陣中對應位置的數字上，並將結果放在第三個矩陣中的相同位置。這有一個明顯的限制，即只有階數相同的矩陣才能加在一起。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}11&12&4\\1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&14&7\\8&11&14\end{pmatrix}}$

矩陣減法

矩陣減法也與您期望的一樣，與矩陣加法正好相反（見上文）。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}11&12&4\\1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-10&-10&-1\\6&5&4\end{pmatrix}}$

矩陣乘法

不幸的是，矩陣乘法不像您期望的那樣。定義矩陣乘法的最簡單方法是給出代數形式的示例。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}}$

如上所述，要找到結果矩陣中每個元素的值，您需要將第一個矩陣中的行與第二個矩陣中的列相乘，然後將結果相加。因此，矩陣只有在符合條件時才能相乘——也就是說，第二個矩陣的行數必須與第一個矩陣的列數相同。一個簡單的經驗規則是，如果您有一個 $[axb]$ 階矩陣，您可以將其乘以一個 $[bxc]$ 矩陣，得到一個 $[axc]$ 矩陣。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7+18+33&8+20+36\\28+45+66&32+50+72\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}}$

矩陣相乘的另一個主要問題是，它通常不滿足交換律。這意味著 $\mathbf {AB} \not =\mathbf {BA}$ 。這與我們直覺相悖，因為實數之間的乘法並非如此。例如，如果我們將上述兩個矩陣反過來相乘，我們會得到一個不同的矩陣。

${\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7+32&14+40&21+48\\9+40&18+50&27+60\\11+48&22+60&33+72\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}39&54&69\\49&68&87\\59&82&105\end{pmatrix}}$

當然，也存在滿足交換律的矩陣。例如，取單位矩陣 $\mathbf {I}$ 與任何其他同維度的方矩陣的乘積，它們顯然滿足交換律。

用一個標量乘以矩陣比較容易；您只需將該數字乘以矩陣中的每個元素即可。例如

$3{\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}21&24\\27&30\\33&36\end{pmatrix}}$

矩陣的除法

矩陣的除法沒有定義。但是，我們可以乘以逆矩陣來達到相同的結果。請參閱下方關於如何找到矩陣的逆的內容。

單位矩陣

單位矩陣是與另一個矩陣相乘時會返回該矩陣的矩陣——換句話說，它相當於實數 1。由於這隻能在方矩陣上發生，因此單位矩陣是一個方矩陣，除了從左上角到右下角的斜線為 1 之外，其他所有元素都為 0。三階單位矩陣，稱為 $\mathbf {I_{3}}$ ，因此為

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

零矩陣

零矩陣 或 零矩陣 用 $\mathbf {O}$ 表示，它只是一個完全由零填充的矩陣。

以下兩個矩陣都被稱為 $\mathbf {O}$ 。

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

自然地，對於任何矩陣 M，

$\mathbf {O} {M}=\mathbf {M} {O}=\mathbf {O}$ 並且 $\mathbf {O} +\mathbf {M} =\mathbf {M}$

逆矩陣

如果你有兩個矩陣，使得 $\mathbf {AB} =\mathbf {I}$ ，那麼你可以認為 A 等於 ${\frac {I}{B}}$ ，這類似於 $A={\frac {1}{B}}$ 。但是，由於我們沒有專門定義矩陣的除法，我們必須始終使用符號 B⁻¹ 而不是 1/B。所以我們有

$\mathbf {A} =\mathbf {B^{-1}I} =\mathbf {B^{-1}}$

一個矩陣 X⁻¹ 被稱為矩陣 X 的逆矩陣 - 如果將這兩個矩陣相乘，你將得到單位矩陣。

2x2 矩陣

逆

對於二維矩陣，求逆的過程非常簡單

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

這意味著並非所有方陣都有逆矩陣，因為如果 $ad-bc$ 為零，則逆矩陣將是未定義的。一個沒有逆矩陣的矩陣被稱為奇異矩陣。

上面的公式如下推導

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$\Rightarrow {\begin{cases}ae+bg=1\\af+bh=0\\ce+dg=0\\cf+dh=1\end{cases}}$

$e={\tfrac {d}{ad-bc}}$

$f={\tfrac {-b}{ad-bc}}$

$g={\tfrac {-c}{ad-bc}}$

$h={\tfrac {a}{ad-bc}}$

提取公因子 ${\tfrac {1}{ad-bc}}$ ，得到

${\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

行列式

等式中的這部分 ( $ad-bc$ ) 被稱為矩陣的行列式，還有很多其他應用，我們將在後面詳細介紹。它可以用多種不同的方式表示，包括

$det(\mathbf {M} )=|\mathbf {M} |={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$

轉置

對於矩陣 $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ，其轉置表示為 $M^{T}$ ，等於 ${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$

3x3 矩陣

對於 3x3 及以上的矩陣，求行列式和逆矩陣的過程要複雜得多。我們以以下示例矩陣為例

${\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&-1&4\\2&2&1\end{pmatrix}}$

行列式

1. 從矩陣中選擇任意一行或一列。在本例中，我們將選擇最後一行。

2. 取該行中的第一個元素，並想象刪除它所在的列和行。這將留下一個子矩陣

{\begin{pmatrix}-1&3\\-1&4\end{pmatrix}}

3. 找到該子矩陣的行列式，如上所述。在我們的例子中，子矩陣的行列式為

(-1*4)-(3*-1)=-4-(-3)=-1

4. 我們現在對所選行中的第二個和第三個元素重複步驟 2 和 3

刪除第 3 行和第 2 列，我們得到子矩陣

{\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}

行列式為 -2。

刪除第 3 行和第 3 列，我們得到

{\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}

它的行列式為 1。

5. 現在我們必須改變其中一些行列式的符號，以便獲得稱為原始矩陣**餘因子**的值。為此，我們回憶以下矩陣

{\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}}

這告訴我們，如果我們在步驟 1 中選擇了第一行或最後一行，我們將保留我們找到的第一個行列式的符號；我們將顛倒第二個行列式的符號；我們將保留最後一個行列式的符號。我們的三個行列式分別為 -1、-2 和 1。因此，餘因子分別為 -1、2 和 1。

6. 餘因子 -1 來自於左下角的元素 2；餘因子 2 來自於底部的元素 2；餘因子 1 來自於右下角的元素 1。我們現在要做的是將每個餘因子乘以我們得到它的元素，並將結果加起來

(-1*2)+(2*2)+(1*1)=-2+4+1=3

7. 行列式為 3。

逆

要找到 3x3 矩陣的逆矩陣，我們首先按照上面的方法找到矩陣中所有元素的餘因子。

重申一下，對於矩陣的每個元素

刪除它所在的列和行，得到一個 2x2 子矩陣。
找到子矩陣的行列式。
根據需要改變它的符號。

改變符號的正式方法是將行列式乘以 -1^i+j，其中 i 是行號，j 是你選擇的元素的列號。例如，對於左上角的元素，我們得到子矩陣

{\begin{pmatrix}-1&4\\2&1\end{pmatrix}}

該矩陣的行列式為 -9。行號為 1，列號為 1，因此我們進行 -9 x -1¹⁺¹ = -9 x 1 = -9。

找到所有餘因子後，可以將它們放入一個 3x3 矩陣中。對於我們的示例矩陣，我們得到

{\begin{pmatrix}-9&6&6\\7&-5&-4\\-1&2&1\end{pmatrix}}

4. 要檢查是否得到了正確的餘因子矩陣，可以取任意一行或一列，將其中的每個元素乘以原始矩陣中相應的元素，並將這些元素加起來；無論選擇哪一行或哪一列，你都應該得到行列式。餘因子矩陣的另一個屬性是，如果你將一行/列中的每個元素乘以另一行/列中相應的元素，並將這些數字加起來，結果將為零。

5. 這對我們很有用，因為請記住，如果我們將原始矩陣乘以它的逆矩陣，我們將得到單位矩陣。如果我們轉置餘因子矩陣，則行將變為列，列將變為行

{\begin{pmatrix}-9&7&-1\\6&-5&2\\6&-4&1\end{pmatrix}}

注意每個元素移動到了哪裡。

由此得到的矩陣被稱為原始矩陣的**伴隨矩陣**。如果我們將這個矩陣乘以原始矩陣，注意我們得到了什麼

{\begin{pmatrix}-9&7&-1\\6&-5&2\\6&-4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&-1&4\\2&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}}

正如你所見，當我們用矩陣乘法將第一行乘以第一列時，我們所做的與我們將伴隨矩陣的第一列乘以原始矩陣的第一列時所做的相同——請記住，我們得到了行列式。當我們將伴隨矩陣的第一行乘以原始矩陣的第二列時，我們所做的與我們將伴隨矩陣的第一列乘以原始矩陣的第二列時所做的相同——也就是說，乘以一個“外來”列。與之前一樣，我們得到零。

回想一下，如果我們將矩陣的逆矩陣乘以該矩陣，我們應該得到單位矩陣。到目前為止，我們得到了一個類似於單位矩陣但大小是其3倍的矩陣——也就是說，比單位矩陣大一個行列式因子的倍數。所以現在我們可以很容易地完成這個過程，並得到逆矩陣。

6. 原始矩陣的逆矩陣是伴隨矩陣乘以行列式的逆矩陣。在我們的例子中，這是

{\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-9&7&-1\\6&-5&2\\6&-4&1\end{pmatrix}}

將行列式的逆矩陣放在矩陣之外是更常見的做法，因為如果我們進行乘法，就會顯得不那麼優雅

{\begin{pmatrix}-3&{\frac {7}{3}}&{\frac {-1}{3}}\\2&{\frac {-5}{3}}&{\frac {2}{3}}\\2&{\frac {-4}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}

解方程組

假設你被要求解以下聯立方程。

$x-y+3z=11$

$2x-y+4z=24$

$2x+2y+z=39$

我們可以將變數係數放在一個矩陣中，並將問題表示為

${\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&-1&4\\2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11\\24\\39\end{pmatrix}}$

如果我們將係數矩陣稱為M，變數矩陣稱為X，那麼我們可以說

$\mathbf {MX} ={\begin{pmatrix}11\\24\\39\end{pmatrix}}$

對X進行重新排列

$\mathbf {X} =\mathbf {M^{-1}} {\begin{pmatrix}11\\24\\39\end{pmatrix}}$

我們可以使用上一節中找到的逆矩陣來解這些方程

$\mathbf {X} ={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-9&7&-1\\6&-5&2\\6&-4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11\\24\\39\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\8\\3\end{pmatrix}}$

如果係數矩陣的行列式為零，則該矩陣沒有逆矩陣，原因很明顯；如果行列式為零，則該矩陣被稱為 **奇異** 矩陣。在這種情況下，方程沒有 *唯一* 解 - 也就是說，可能存在多個解，也可能根本沒有解。（如果存在解或存在多個解，則該系統被稱為 **一致** 的。）

矩陣作為變換

矩陣表示線性變換。對於每個線性變換，都存在一個唯一的等效矩陣，每個矩陣都表示一個唯一的線性變換。為了確定特定變換的矩陣，請形成並求解一個等式，如下例所示

要找到對應於 x 軸反射的矩陣，點 (x, y) 將變換為 (x, -y)，因此

$M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}$

其中 M 是我們要找到的矩陣。假設我們正在處理二維平面，則 M 必須具有以下形式： ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ，因此

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}\Rightarrow {\begin{cases}ax+by=x\\cx+dy=-y\end{cases}}$

由於我們希望這適用於所有點 (x, y)，因此 x 和 y 必須彼此獨立。這意味著 b 和 c 都必須為 0，因此我們得到

${\begin{cases}ax=x\\dy=-y\end{cases}}$

a = 1 且 d = -1，因此 x 軸反射的矩陣為

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

另一種方法如下

找到點 (1, 0) 的變換。在本例中，(1, 0) 在 x 軸上的反射只是 (1, 0)。將此點稱為 (x₁, y₁)。
找到點 (0, 1) 的變換。在本例中，它是 (0, -1)。我們將此點稱為 (x₂, y₂)。
您要查詢的矩陣為

{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}}

不變性

不變點是指在變換下保持不變的點，即

M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

一些變換矩陣只有一個不變點，而有些則有一條不變點線。需要注意的是，在單位矩陣下，所有點都是不變的，而點 (0,0) 在所有變換矩陣下都是不變的。

不變點線是指，對於一個特定的矩陣，直線上所有的點都是不變的，例如：

求變換 ${\begin{pmatrix}6&5\\2&3\end{pmatrix}}$ 的不變點線的方程。

對於點 (x,y) 來說，要使其不變，必須滿足

{\begin{pmatrix}6&5\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

\Rightarrow {\begin{cases}x=6x+5y\\y=2x+3y\end{cases}}

\Rightarrow {\begin{cases}5x+5y=0\\2x+2y=0\end{cases}}

由於這兩個方程是相同的，所以一定存在一條不變點線

\Rightarrow y=-x

這表明，如果 y 等於 -x，那麼點 (x,y) 將是不變的，所以直線 $y=-x$ 上的任何點都是不變點。

還可以存在一條在變換下保持不變的直線，但直線上的點可能改變位置，即，直線上某個點的任何點在變換後仍然會保持在同一條直線上，即使點本身發生了改變。例如：在表示沿 y 軸反射的矩陣下，任何水平線都會保持不變，但線上的點不會，即 (1,0) 會對映到 (-1,0)，但這兩個點都仍然在直線 y = 0 上。

可以這樣找到不變線