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級數求和

在 核心二 中，我們學習了算術級數和幾何級數，但如果我們需要對一個很大的範圍進行算術級數求和，這可能會非常耗時。有一些公式可以讓我們計算出這個和。請注意，這些公式只適用於從 1 開始的級數；在下面的示例中，我們將看到如何計算從其他端點開始的級數求和。公式如下：

$\sum _{r=1}^{n}1=n$

$\sum _{r=1}^{n}r={\frac {1}{2}}n(n+1)$

$\sum _{r=1}^{n}r^{2}={\frac {1}{6}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$

$\sum _{r=1}^{n}r^{3}={\frac {1}{4}}n^{2}\left(n+1\right)^{2}$

我們還需要知道關於求和的這個一般結果：

$\sum _{r=1}^{n}ar^{b}=a\sum _{r=1}^{n}r^{b}$

你可以透過考慮展開形式來理解為什麼這是正確的：

$(a\times 1^{b}+a\times 2^{b}+a\times 3^{b}+...+a\times n^{b})\equiv a(1^{b}+2^{b}+3^{b}+...+n^{b})$

示例

求級數 $\sum _{x=3}^{10}3x^{3}+4x^{2}+5x$ 的和。

1. 首先，我們需要將求和分解為三個獨立的部分。

   $\sum _{x=3}^{10}3x^{3}+\sum _{x=3}^{10}4x^{2}+\sum _{x=3}^{10}5x$

2. 接下來，我們需要使它們從 1 開始。然後，我們需要減去求和中未包含的數字的總和。

   $\sum _{x=1}^{10}3x^{3}-\sum _{x=1}^{2}3x^{3}+\sum _{x=1}^{10}4x^{2}-\sum _{x=1}^{2}4x^{2}+\sum _{x=1}^{10}5x-\sum _{x=1}^{2}5x$

3. 現在，我們使用恆等式來計算各個總和。請記住要包含係數。

   $3\left[{\frac {1}{4}}10^{2}\left(10+1\right)^{2}-{\frac {1}{4}}2^{2}\left(2+1\right)^{2}\right]+4\left[{\frac {1}{6}}10\left(2\times 10+1\right)\left(10+1\right)-{\frac {1}{6}}2\left(2\times 2+1\right)\left(2+1\right)\right]$ $+5\left[{\frac {1}{2}}10(10+1)-{\frac {1}{2}}2(2+1)\right]$

4. 現在我們需要進行大量的算術運算。這可以透過手工完成，也可以使用計算器。

   ${\frac {3}{4}}\left(100\times 121-4\times 9\right)+4{\frac {1}{6}}\left(10\times 21\times 11-10\times 3\right)$ $+{\frac {5}{2}}\left(10\times 11-2\times 3\right)$

   $={\frac {3}{4}}\left(12100-36\right)+{\frac {2}{3}}\left(2310-30\right)+{\frac {5}{2}}\left(110-6\right)$

   $=10828\,$

5. 級數 $\sum _{x=3}^{10}3x^{3}+4x^{2}+5x=10828$ 的和。

這是 FP1 （進階純數學 1）模組的一部分，屬於 A-level 數學 課本。