抽象代數/群論/迴圈群/迴圈群定義

• 由 g 生成的迴圈群 是

• $\langle g\rangle =\lbrace g^{n}\;|\;n\in \mathbb {Z} \rbrace$

• 其中$g^{n}={\begin{cases}\underbrace {g\ast g\cdots \ast g} _{n},&n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0\\\underbrace {g^{-1}\ast g^{-1}\cdots \ast g^{-1}} _{-n},&n\in \mathbb {Z} ,n<0\end{cases}}$

• 歸納法表明：$g^{m+n}=g^{m}\ast g^{n}{\text{ and }}g^{mn}=[g^{m}]^{n}$

定理

設 C_m 為階為 m 的迴圈群，由 g 生成，其運算為 $\ast$

設 $(\mathbb {Z} /m,+)$ 為模 m 的整數加法群

C_m 同構於 $(\mathbb {Z} /m,+)$

引理

設 n 為使得 gⁿ = e 成立的最小正整數

$g^{i}=g^{j}\leftrightarrow i=j~{\text{mod}}~n$

引理證明

設 i > j。設 i - j = sn + r，其中 0 ≤ r < n，且 s、r、n 都是整數。

1. $g^{i}=g^{j}\;$
2. $e=g^{i-j}=g^{sn+r}=[g^{n}]^{s}\ast g^{r}=[e]^{s}\ast g^{r}=g^{r}$	因為 i - j = sn + r，且 gn = e
3. $g^{r}=e$
4. $r=0$	其中 n 是使得 gn = e 成立的最小正整數 並且 0 ≤ r < n
5. $i-j=sn$	0 和 7.
6. $i=j~{\text{mod}}~n$

證明

0. 定義   ${\begin{aligned}f\colon C_{m}&\to \mathbb {Z} /m\\g^{i}&\mapsto i~{\text{mod}}~m\end{aligned}}$

引理表明 f 是良定義的（對於每個輸入只有一個輸出）。

f 是同態

$f(g^{i})+f(g^{j})=i+j~{\text{mod}}~m=f(g^{i+j})=f(g^{i}\ast g^{j})$

f 根據引理是單射的

f 是滿射的，因為 $\mathbb {Z} /m$ 和 $C_{m}$ 都有 m 個元素，並且 f 是單射的