聲學/濾波器設計與實現

簡介

聲學濾波器，或消聲器，被廣泛應用於需要抑制或衰減聲音的各種場合。雖然許多人可能不熟悉這個概念，但聲學消聲器卻讓日常生活更加舒適。許多常見的家用電器，如冰箱和空調，都使用聲學消聲器來降低工作噪音。聲學消聲器的應用主要集中在機械部件或輻射聲音較多的區域，例如高壓排氣管、燃氣輪機和旋轉泵。

儘管聲學消聲器有許多應用，但實際上只有兩種主要型別被廣泛使用。它們是吸聲式消聲器和阻抗式消聲器。吸聲式消聲器透過吸聲材料來衰減氣流中輻射的能量。阻抗式消聲器使用一系列複雜的通道來最大限度地衰減聲音，同時滿足規定的指標，例如壓降、體積流量等。如今，許多更復雜的消聲器結合了這兩種方法，以最佳化聲音衰減並提供實際的指標。

為了全面瞭解聲學濾波器如何衰減輻射聲音，首先需要簡要介紹一些基本背景知識。有關波理論和其他研究聲學濾波器所需材料的更多資訊，請參閱下面的參考文獻。

基本波理論

雖然波動的分析並不難理解，但由於存在多種不同的分析方法，對於新手來說可能會讓人不知所措。因此，為了使大部分數學儘可能簡單，這裡只分析一維波運動。這種分析對於實踐中遇到的大多數管道和封閉空間來說是有效的，誤差很小。

管中的平面波壓力分佈

最重要的公式是一維形式的波動方程。

因此，如果平面波正在傳播，可以合理地推斷，管內的壓力分佈由以下公式給出：

$\mathbf {p} =\mathbf {Pi} e^{j[\omega t-kx]}+\mathbf {Pr} e^{j[\omega t+kx]}$

其中 Pi 和 Pr 分別是入射波和反射波的幅度。還要注意，粗體符號用於表示可能存在的複數項。第一項表示沿 +x 方向傳播的波，第二項表示沿 -x 方向傳播的波。

由於聲學濾波器或消聲器通常儘可能地衰減輻射聲功率，因此我們可以假設，如果我們能找到一種方法來最大化反射波幅度與入射波幅度的比率，那麼我們就可以有效地衰減特定頻率的輻射噪聲。這個比率被稱為反射係數，其公式為：

$\mathbf {R} =\left({\frac {\mathbf {Pr} }{\mathbf {Pi} }}\right)$

需要注意的是，波的反射僅在管道的阻抗發生變化時才會發生。可以透過使管道末端的阻抗與管道的特徵阻抗匹配來實現無波反射。有關更多資訊，請參見 [1] 或 [2]。

雖然反射係數以目前的形式不太實用，因為我們需要一個描述聲功率的關係，但我們可以透過認識到功率強度係數只是反射係數平方的大小來推匯出一個更實用的形式 [1]

$R_{\pi }=\left|\mathbf {R} \right|^{2}$

正如預期的那樣，功率反射係數必須小於或等於 1。因此，我們可以將透射係數定義為：

$T_{\pi }=\left(1-R_{\pi }\right)$

它表示透射的功率。這個關係直接來自於能量守恆定律。在討論消聲器的效能時，通常會指定功率透射係數。

基本濾波器設計

對於簡單的濾波器，可以進行長波長近似，以簡化系統的分析。當這個假設成立時（例如低頻），系統的元件表現為集總聲學元件。在這種情況下，很容易推匯出描述各種特性之間的關係式。

以下推導假設長波長。大多數情況下的實際應用將在後面給出。

低通濾波器

低通濾波器的 Tpi

低通濾波器是一種衰減高頻輻射聲功率的裝置。這意味著在低頻帶通內，功率透射係數約為 1（參見右邊的圖形）。

這相當於管道中的膨脹，膨脹中氣體的體積具有聲學順應性（見右圖）。聲阻抗的連續性（見：聲阻抗視覺化），在連線處，參見[1]，給出了功率傳輸係數為

$T_{\pi }\approx {\frac {1}{1+\left(\displaystyle {\frac {S_{1}-S}{2S}}kL\right)^{2}}}$

其中k是波數（參見波特性），L和$S_{1}$分別是膨脹的長度和麵積，S是管道的面積。

截止頻率由下式給出

$f_{c}=\left({\frac {cS}{\pi L(S_{1}-S)}}\right)$

高通濾波器

高通濾波器的Tpi

這些是衰減低頻輻射聲功率的裝置。就像之前一樣，這意味著功率傳輸係數在大頻帶的通帶內約為1（見右圖）。

這相當於一個短側支路（見右圖），其半徑和長度遠小於波長（集總元件假設）。該側支路充當聲質量，對系統施加了與低通濾波器不同的聲阻抗。再次使用連線處的聲阻抗連續性，得到以下形式的功率傳輸係數[1]

$T_{\pi }=\left({\frac {1}{1+\left({\frac {\pi a^{2}}{2SLk}}\right)^{2}}}\right)$

其中a和L是短管的面積和有效長度，S是管道的面積。

截止頻率由下式給出

$f_{c}=\left({\frac {ca^{2}}{2SL}}\right)$

帶阻濾波器

帶阻濾波器的Tpi

這些是衰減特定頻率範圍內輻射聲功率的裝置（見右圖）。就像之前一樣，功率傳輸係數在通帶區域內約為1。

由於帶阻濾波器本質上是低通濾波器和高通濾波器的組合，人們可能會期望透過結合這兩種技術來建立一個。這在集總聲質量和順應性組合形成帶阻濾波器方面是正確的。這可以實現為亥姆霍茲諧振器（見右圖）。同樣，由於亥姆霍茲諧振器的阻抗很容易確定，連線處的聲阻抗連續性可以給出功率傳輸係數為[1]

$T_{\pi }=\left({\frac {1}{1+\left({\frac {c/2S}{\omega L/S_{b}-c^{2}/\omega V}}\right)^{2}}}\right)$

其中$S_{b}$是頸部的面積，L是頸部的有效長度，V是亥姆霍茲諧振器的體積，S是管道的面積。有趣的是，當頻率為亥姆霍茲的諧振頻率時，功率傳輸係數為零。這可以用以下事實來解釋：在諧振時，頸部的體積速度很大，並且具有這樣的相位，使得所有入射波都反射回源[1]。

零功率傳輸係數的位置由下式給出

$f_{c}=\left({\frac {c}{2\pi }}\right){\sqrt {\left({\frac {S_{b}}{LV}}\right)}}$

該頻率值具有強大的意義。如果系統的大部分噪聲集中在一個頻率分量上，則可以使用上述方程和亥姆霍茲諧振器對系統進行“調諧”，以完全衰減任何傳輸的功率（見下面的示例）。

亥姆霍茲諧振器作為消聲器，f = 60 Hz

亥姆霍茲諧振器作為消聲器，f = fc

設計

如果長波長假設有效，通常會結合使用上面描述的方法來設計濾波器。為亥姆霍茲諧振器概述了具體的設計程式，其他基本濾波器遵循類似的程式（參見1）。

設計亥姆霍茲諧振器時需要確定兩個主要指標[3]

1. 目標共振頻率：$f_{c}={\frac {c}{2\pi }}{\frac {\sqrt {C_{o}}}{V}}$ 其中 $C_{o}={\frac {S}{L}}$。
2. - 傳輸損耗：${\frac {\sqrt {C_{o}V}}{2S}}=const$ 基於 TL 水平。此常數可從 TL 圖表中獲取（參見 HR 第 6 頁）。

這將導致兩個未知數的兩個方程，可以解出亥姆霍茲共振器未知的尺寸。重要的是要注意，流速會降低共振時的傳輸損耗量，並傾向於向上移動共振位置 [3]。

在許多情況下，長波長近似值無效，必須檢查其他方法。這些方法在數學上更加嚴謹，需要對涉及的聲學有充分的瞭解。雖然沒有展示相關的數學公式，但下一節給出了常用的濾波器。

實際濾波器設計

如前所述，實際應用中使用兩種主要的濾波器：吸聲式和阻抗式。下面將簡要介紹每種型別的優點和缺點，以及它們各自的應用（參見 吸聲消聲器）。

吸聲式

這類消聲器使用吸聲材料將聲能轉化為熱能。與利用聲波干涉來減少輻射聲功率的阻抗式消聲器不同，吸聲式消聲器通常是直通管道，內襯多層吸聲材料以減少輻射聲功率。吸聲式消聲器最重要的屬性是衰減常數。較高的衰減常數會導致更多的能量耗散和更低的輻射聲功率。

吸聲式消聲器的優點 [3]

(1) - 在較高頻率下具有高吸聲量。 (2) - 適合應用於寬頻（頻譜中恆定）和 窄帶噪聲。 (3) - 與阻抗式消聲器相比，回壓更低。

吸聲式消聲器的缺點 [3]

(1) - 在低頻下效能不佳。 (2) - 材料在某些情況下可能會降解（高溫等）。

示例

吸聲式消聲器

吸聲式消聲器有很多應用。最著名的應用是賽車，需要追求發動機效能。吸聲式消聲器不會產生大量的回壓（如阻抗式消聲器）來衰減聲音，這導致了更高的消聲器效能。但需要注意的是，輻射聲音要高得多。其他應用包括風道室（內襯吸聲材料的大型腔室，見下圖）、襯墊管道和通風系統。

阻抗式

阻抗式消聲器使用許多複雜的通道（或集中元件）來減少傳輸的聲能。這是透過在交匯處改變阻抗來實現的，這會導致反射波（並有效地減少傳輸的聲能）。由於傳輸的能量最小化，反射回源的能量相當高。這實際上會降低發動機和其他聲源的效能。與消散聲能的吸聲式消聲器相反，阻抗式消聲器將能量保留在系統內。有關更多資訊，請參閱 #The_reflector_muffler 阻抗式消聲器。

阻抗式消聲器的優點 [3]

(1) - 在低頻下效能優異。 (2) - 通常為固定音調提供高插入損耗 IL。 (3) - 可用於惡劣環境。

阻抗式消聲器的缺點 [3]

(1) - 在高頻下效能不佳。 (2) - 對寬頻噪聲來說，效能不佳。

示例

反射式消聲器

阻抗式消聲器是內燃機中最常用的消聲器 1。阻抗式消聲器在低頻應用中非常有效（特別是因為可以應用簡單的集中元件分析）。其他應用領域包括：惡劣環境（高溫/高速發動機、渦輪機等）、特定頻率衰減（使用亥姆霍茲裝置，可以調整特定頻率以實現輻射聲功率的完全衰減）以及需要低輻射聲功率（汽車消聲器、空調等）。

效能

有三個主要指標用於描述消聲器的效能：降噪、插入損耗和傳輸損耗。通常在設計消聲器時，會給出其中一個或兩個指標的期望值。

降噪 (NR)

定義為聲源側和接收側聲壓級的差值。它本質上是聲源位置和消聲器系統末端之間減少的聲功率量（不必是末端，但它是最常見的位置） [3]。

$NR=\left(L_{p1}-L_{p2}\right)$

其中 $L_{p1}$ 和 $L_{p2}$ 分別是聲源和接收處的聲壓級。雖然 NR 很容易測量，但由於駐波的存在，聲源處的壓強通常會發生變化 [3]。

插入損耗 (IL)

定義為有和沒有聲衰減屏障的接收器處的聲壓級差。這可以在汽車消聲器中實現，即僅使用直通管道時的輻射聲功率與在管道中安裝膨脹室時的輻射聲功率之間的差值。由於膨脹室將衰減一部分輻射聲功率，因此安裝聲衰減屏障後接收器處的壓強會更低。因此，需要更高的插入損耗 [3]。

$IL=\left(L_{p,without}-L_{p,with}\right)$

其中 $L_{p,without}$ 和 $L_{p,with}$ 分別是接收器在沒有和有消聲器系統時的聲壓級。測量 IL 的主要問題是，需要在不改變聲源的情況下移除屏障或隔音系統 [3]。

傳輸損失 (TL)

定義為入射波到消聲器系統的聲功率級與透射聲功率級之間的差值。有關更多資訊，請參閱傳輸損失 [3]。

$TL=10log\left({\frac {1}{\tau }}\right)$ 其中 $\tau =\left({\frac {I_{t}}{I_{i}}}\right)$

其中 $I_{t}$ 和 $I_{i}$ 分別是透射波和入射波的功率。從這個表示式可以明顯看出，測量 TL 的問題在於將聲場分解為入射波和透射波，這對複雜的系統來說可能很難做到（分析地）。

示例

(1) - 對於一個容積室（見下圖）

$TL=-10\log \left[S\left({\frac {\cos \theta }{2\pi d^{2}}}+{\frac {1-\alpha }{\alpha S_{w}}}\right)\right]$ 以 dB 為單位

其中 $\alpha$ 是平均吸收係數。

容積室	傳輸損失與 θ 的關係

(2) - 對於一個擴散器（見下圖）

$NR=10\log \left[{\frac {1}{2}}\left|e^{-ikx_{s}}+\left({\frac {1-S}{1+S}}\right)e^{ikx_{s}}\right|^{2}\left(1+S\right)^{2}\right]$

$IL=10\log \left[{\frac {\left(1+S\right)^{2}}{4}}\right]$

$TL=10\log \left[{\frac {\left(1+S\right)^{2}}{4S}}\right]$

其中 $S=\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)$

無限長管道中的膨脹

膨脹的 NR、IL 和 TL

(3) - 對於亥姆霍茲共鳴器（參見下圖）

$TL=10\log \left[1+\left({\frac {\left({\frac {c}{2S}}\right)}{\omega LS_{b}-\left({\frac {c^{2}}{\omega V}}\right)}}\right)^{2}\right]$ dB

亥姆霍茲共鳴器

亥姆霍茲共鳴器的 TL

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連結

1. 消聲器/消音器的應用和效能指標描述 排氣消音器
2. 工程聲學，普渡大學 - ME 513.
3. 聲音傳播 動畫
4. 排氣消聲器 設計
5. 專案 提案 和 提綱

參考文獻

1. 聲學基礎；Kinsler 等人，約翰·威立父子公司，2000 年
2. 聲學；皮爾斯，美國聲學學會，1989 年
3. - ME 413 噪聲控制，蒙戈教授，普渡大學