工程聲學/邊界條件和強迫振動

邊界條件

表示先前討論的波動方程解的函式，

即 $y(x,t)=f(\xi )+g(\eta )\,$ 其中 $\xi =ct-x\,$ 和 $\eta =ct+x\,$

取決於邊界條件和初始條件。如果假設波在弦中傳播，則初始條件與弦在 t=0 時特定擾動有關。這些特定擾動由接觸位置和型別決定，可以是簡單的振盪到劇烈的脈衝。邊界條件的影響更為微妙。

最簡單的邊界條件是固定支承和自由端。在實踐中，自由端邊界條件很少遇到，因為它假設沒有橫向力支撐弦（例如，弦只是漂浮的）。

固定支承

在支承處，弦中傳播的波的整體位移必須為零。在支承處表示 x=0，這要求

$y(0,t)=f(ct-0)+g(ct+0)=0\,$

因此，x=0 處的總橫向位移為零。

入射波、反射波和組合波的波反射序列如下所示。請注意，波在開始時向左（負 **x** 方向）傳播。反射波當然向右（正 **x** 方向）傳播。

t=0

t=t1

t=t2

t=t3

自由支承

與固定支承邊界條件不同，支承處的橫向位移不必為零，但必須要求橫向力之和抵消。如果假設位移角很小，

$\sin(\theta )\approx \theta =\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,$

所以，

$\sum F_{y}=T\sin(\theta )\approx T\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)=0\,$

當然，弦中的張力 T 不會為零，這需要在 x=0 處斜率為零。

即 $\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)=0\,$

對於自由邊界，入射波、反射波和組合波的波反射序列如下所示。

t=0

**t=t1**

**t=t2**

**t=t3**

其他邊界條件

還有許多其他型別的邊界條件不屬於我們簡化的類別。正如預期的那樣，將許多“複雜”系統的特性與基本邊界條件聯絡起來並不困難。典型的或現實的邊界條件包括質量載入、阻抗載入、阻尼載入和阻抗載入弦。有關更多資訊，請參見 Kinsler 的《聲學基礎》，第 54-58 頁。

以下是一個網站，它包含在不同邊界條件下波反射的精美動畫：波反射

波特性

首先，我們將討論一些有用變數的定義。這些包括：波數、相速度和波長，它們是波在弦上傳播時的特徵。

波在弦中傳播的速度由相速度給出，通常以 m/s 為單位，由下式給出：

$c={\sqrt {T/\rho _{L}}}\,$ 其中 $\rho _{L}\,$ 是弦的單位長度的密度。

波數用於將橫向位移方程簡化為更簡單的形式，對於簡諧運動，它乘以橫向位置。它由下式給出：

$k=\left({\frac {\omega }{c}}\right)\,$ 其中 $\omega =2\pi f\,$

最後，波長定義為

$\lambda =\left({\frac {2\pi }{k}}\right)=\left({\frac {c}{f}}\right)\,$

它被定義為週期波形的兩個點（通常是峰值）之間的距離。

這些“波特性”在計算不同情況下的波動方程解時具有實際意義。正如稍後將看到的，波數被廣泛用於圖形和定量描述波現象。

更多資訊：波特性

強制振動

1. 無限弦的強制振動 假設有一根非常長的弦，在 x=0 處施加一個力。

F(t)=Fcos(wt)=Real{Fexp(jwt)}

使用 x=0 處的邊界條件，

忽略反射波。

很容易得到波形。

其中 w 是角速度，k 是波數。

根據阻抗的定義。

它表示弦的特徵阻抗。顯然，它是純電阻的，類似於機械系統中的電阻。

---

耗散功率

注意：沿著弦，所有變數都以相同的速度傳播。

連結標題 一個有用的連結，用於展示波的時間-空間特性。

---

一些有趣的波在不同邊界條件下的動畫。

1. 硬邊界（類似於固定端）

2. 軟邊界（類似於自由端）

3. 從低密度到高密度弦

4. 從高密度到低密度弦

返回主頁面