第1部分：集中聲學系統 – 1.1 – 1.2 – 1.3 – 1.4 – 1.5 – 1.6 – 1.7 – 1.8 – 1.9 – 1.10 – 1.11

第2部分：一維波運動 – 2.1 – 2.2 – 2.3

第3部分：應用 – 3.1 – 3.2 – 3.3 – 3.4 – 3.5 – 3.6 – 3.7 – 3.8 – 3.9 – 3.10 – 3.11 – 3.12 – 3.13 – 3.14 – 3.15 – 3.16 – 3.17 – 3.18 – 3.19 – 3.20 – 3.21 – 3.22 – 3.23 – 3.24

摘要

在課堂上，我們已經開始討論多維波動方程的解。這些多維解中特別有趣的是針對圓形邊界條件的貝塞爾函式解。這些解的實際應用就是定音鼓。本頁將從定性和定量的角度探討定音鼓的工作原理。更具體地說，定音鼓將被介紹為一個圓形膜，其解將以視覺形式（例如貝塞爾函式的視覺化、定音鼓的影片和音訊形式（定音鼓演奏的wav檔案）進行討論。此外，還將提供指向有關此材料的更多資訊的連結，包括參考文獻。

什麼是定音鼓

定音鼓是一種打擊樂器，它有一個圓形的鼓面安裝在“壺狀”的箱體上。當用槌敲擊鼓面時，它會振動，從而產生聲音。這種聲音的音高由鼓面的張力決定，在演奏前需要精確調音。定音鼓的聲音（在古典音樂中稱為定音鼓）存在於來自世界各地許多不同地方的許多形式的音樂中。

定音鼓背後的數學：簡短版本

當人們觀察定音鼓如何產生聲音時，應該重點關注鼓面。這個圓形膜（以及鼓箱體中的空氣）的振動是該樂器產生聲音的原因。這種振動鼓背後的數學原理相對簡單。如果觀察鼓面上的一個小元素，它看起來與振動弦的情況完全一樣（見：）。唯一的區別是，該元素在兩個維度上受到力的作用，這兩個維度與鼓面平面平行。由於情況相同，我們有相同的方程，只是在另一個平面維度上添加了一個空間項。這使得我們能夠使用亥姆霍茲方程對鼓面進行建模。下一步（下面將詳細解決）是假設鼓面的位移（用極座標表示）是兩個分別針對 theta 和 r 的函式的乘積。這使得我們能夠將 PDE 轉化為兩個可以輕鬆求解並應用於定音鼓頭情況的 ODE。有關更多資訊，請參見下文。

定音鼓背後的數學：推導

所以從可靠的通用亥姆霍茲方程開始

$\nabla ^{2}\Psi +k^{2}\Psi =0$

其中 k 是波數，即膜中強迫振盪的頻率除以聲速。

由於我們正在處理一個圓形物體，因此使用極座標（以半徑和角度表示）而不是直角座標更有意義。對於極座標，亥姆霍茲關係的拉普拉斯項 ( $\nabla ^{2}$ ) 變為 $\partial ^{2}\Psi /\partial r^{2}+1/r\partial ^{2}\Psi /\partial r+1/r^{2}\partial ^{2}\Psi /\partial \theta ^{2}$

現在我們假設： $\Psi (r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$

這個假設遵循變數分離法。（更多資訊請參見參考文獻3）將此結果代回我們可靠的亥姆霍茲方程，得到以下結果

$r^{2}/R(d^{2}R/dr^{2}+1/rdR/dr)+k^{2}r^{2}=-1/\Theta d^{2}\Theta /d\theta ^{2}$

由於我們將解的變數分離成兩個一維函式，偏導數變為普通導數。此結果的兩邊必須等於同一個常數。為簡單起見，我將使用 $\lambda$ 作為這個常數。這導致了以下兩個方程

$d^{2}\Theta /d\theta ^{2}=-\lambda ^{2}\Theta$

$d^{2}R/dr^{2}+1/rdR/dr+(k^{2}-\lambda ^{2}/r^{2})R=0$

第一個方程很容易看成是標準的二階常微分方程，它具有正弦和餘弦的諧波解，頻率基於 $\lambda$ 。第二個方程被稱為貝塞爾方程。該方程的解神秘地被稱為第一類和第二類的 $\lambda$ 階貝塞爾函式。這些函式聽起來很嚇人，但它們只是半徑乘以波數的振盪函式，在 kr（對於第二類函式）接近零時無界，並且隨著 kr 變大而減小。（有關這些函式的外觀，請參閱參考文獻 1、2 和 3）

現在我們已經得到了該方程的通解，我們可以對無限半徑的鼓面進行建模。然而，由於我還沒有見過無限大的鼓，我們需要將這種振動膜的解限制在有限的半徑內。我們可以透過應用我們對圓形膜的瞭解來做到這一點：沿著鼓的邊緣，鼓面連線到鼓上。這意味著膜在鼓的半徑處終止時不會發生位移。這個邊界條件可以用以下數學公式來描述

$R(a)=0$

其中 a 是鼓的任意半徑。除了這個邊界條件之外，鼓面在中心的位移必須是有限的。這個第二個邊界條件消除了解中的第二類貝塞爾函式。這將我們解的 R 部分簡化為

$R(r)=AJ_{\lambda }(kr)$

其中 $J_{\lambda }$ 是 $\lambda$ 階的第一類貝塞爾函式。在鼓的半徑處應用我們的另一個邊界條件要求波數 k 必須具有離散值（ $j_{mn}/a$ ），可以查閱。將所有這些結合起來，我們就得到了鼓面如何振動（即以下內容的實部）的解

$y_{\lambda n}(r,\theta ,t)=A_{\lambda n}J_{\lambda n}(k_{\lambda n}r)e^{j\lambda \theta +jw_{\lambda n}t}$

鼓的數學原理：整個鼓

以上推導僅針對鼓面。一個實際的打擊樂器，其圓形膜的一側被封閉的腔體包圍。這意味著當膜振動時，腔體內的空氣會被壓縮，這使得問題的求解更加複雜。用數學術語來說，這使得偏微分方程變得非齊次，或者用更簡單的說法，亥姆霍茲方程的右側不等於零。這個結果需要更多的推導，這裡不再進行。如果讀者想要了解更多，可以在參考文獻6和7中找到相關討論。

參考文獻

1.Eric W. Weisstein. "第一類貝塞爾函式." 來自 Wolfram 網頁資源 MathWorld。 https://mathworld.tw/BesselFunctionoftheFirstKind.html

2.Eric W. Weisstein. "第二類貝塞爾函式." 來自 Wolfram 網頁資源 MathWorld。 https://mathworld.tw/BesselFunctionoftheSecondKind.html

3.Eric W. Weisstein. "貝塞爾函式." 來自 Wolfram 網頁資源 MathWorld。 https://mathworld.tw/BesselFunction.html

4.Eric W. Weisstein 等人. "變數分離." 來自 Wolfram 網頁資源 MathWorld。 https://mathworld.tw/SeparationofVariables.html

5.Eric W. Weisstein. "貝塞爾微分方程." 來自 Wolfram 網頁資源 MathWorld。 https://mathworld.tw/BesselDifferentialEquation.html

6. Kinsler and Frey, "聲學基礎", 第四版，Wiley & Sons

7. Haberman, "應用偏微分方程", 第四版，Prentice Hall Press

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工程聲學/貝塞爾函式與定音鼓

摘要

什麼是定音鼓

定音鼓背後的數學：簡短版本

定音鼓背後的數學：推導

鼓的數學原理：整個鼓

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