工程聲學/機電類比

為什麼使用電路類比？

聲學器件通常是機械和電氣元件的組合。一個常見的例子是連線到電源的揚聲器。在工程應用中，使用一種方法對整個系統進行建模非常有用。這就是在振動機械系統中使用電路類比的原因。相同的方法可以應用於機電聲學類比。

機電類比的工作原理

電迴路用其電勢（電壓）和通量（電流）來描述。為了構建機械系統的電路類比，我們定義了系統的通量和電勢。這導致了兩個獨立的類比系統。阻抗類比將作用於元件的力表示為電勢，將元件的速度表示為通量。遷移率類比將通量等同於力，將速度等同於電勢。

	機械	等效電路
阻抗類比
電勢	力	電壓
通量	速度	電流
遷移率類比
電勢	速度	電壓
通量	力	電流

對於許多人來說，遷移率類比被認為更容易用於機械系統。力作為電流流動以及以相同頻率振盪的物體並聯連線，這更直觀。但是，兩種方法都會產生相同的結果，並且也可以使用對偶（點）方法進行轉換。

振動機械系統基本元件

機械彈簧

理想彈簧被認為在其彈性極限內工作，因此可以使用胡克定律對其行為進行建模。還假設它沒有質量並且沒有阻尼效應。

$F=-cx,\$

機械質量

在振動系統中，質量元件會抵抗加速度。根據牛頓第二定律

$F=mx^{\prime \prime }=ma=m{\frac {du}{dt}}$

$F=K\int \,udt$

機械阻力

阻尼器是一種理想的粘性阻尼器，它會抵抗速度。

$F=Ru\displaystyle$

理想發生器

可以驅動任何系統的兩個理想發生器是理想速度發生器和理想力發生器。理想速度發生器可以用曲柄圖表示，或者簡單地宣告$u(t)=f(t)$，理想力發生器可以用箭頭表示，或者宣告$F(t)=f(t)$

簡單阻尼機械振盪器

在接下來的部分中，我們將考慮這個簡單的機械系統作為移動性和阻抗模擬。它可以透過理想力或理想速度發生器驅動，我們將考慮簡諧運動。下標中的 m 表示機械系統，目前是冗餘的，但在組合機械和聲學系統時可能有用。

阻抗模擬

機械彈簧

在彈簧中，力與偏離平衡位置的位移有關。根據胡克定律，

$F(t)=c_{m}\Delta x=c_{m}\int _{0}^{t}u(\tau )d\tau$

電路中等效的行為是電容器

$V(t)={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}\,i(\tau )d\tau$

機械質量

作用在質量上的力與加速度（速度變化）有關。根據牛頓第二定律，其行為為

$F(t)=m_{m}a=m_{m}{\frac {d}{dt}}u(t)$

電路中等效的行為是電感器

$V(t)=L{\frac {d}{dt}}i(t)$

機械阻力

對於粘性阻尼器，力與速度直接相關

$F=R_{m}u\displaystyle$

等效的是一個值為$R_{m}\displaystyle$的簡單電阻。

$V=Ri\displaystyle$

示例

因此，上一節中的簡單機械振盪器變成了一個串聯 RCL 電路。

所有三個元件的電流相等（它們的速度相同），並且每個元件上的電壓降之和將等於發生器上的電壓（驅動力）。此處描繪的理想電壓發生器將等效於理想力發生器。

重要說明：彈簧和阻尼器的測量速度是相對速度（一端的速度減去另一端的速度）。但是，質量的速度是絕對速度。

阻抗

元件		阻抗
彈簧	電容器	$Z_{c}={\frac {V_{c}}{I_{c}}}={\frac {c_{m}}{j\omega }}$
質量	電感器	$Z_{m}={\frac {V_{m}}{I_{m}}}=j\omega m_{m}$
阻尼器	電阻	$Z_{d}={\frac {V_{m}}{I_{m}}}=R_{m}$

遷移類比

與上述阻抗類比一樣，可以透過將機械元件的基本方程與電路元件的方程進行比較來找到等效元件。但是，由於電路方程通常根據電流定義電壓，因此在這種情況下，類比將是根據力表示速度的表示式，這與慣例相反。但是，這可以透過簡單的代數運算來解決。

機械彈簧

$F(t)=c_{m}\int u(t)dt$

該電路的等效行為是電感器的行為。

$\int Vdt=\int L{\frac {d}{dt}}i(t)dt$

$i={\frac {1}{L}}\int \,Vdt$

機械質量

$F=m_{m}a=m_{m}{\frac {d}{dt}}u(t)$

類似於彈簧元件，如果我們取電容器的一般方程並求導，

${\frac {d}{dt}}V(t)={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{C}}\int \,i(t)dt$

$i(t)=C{\frac {d}{dt}}V(t)$

機械阻力

由於力和速度之間的關係成正比，唯一的區別是機械阻力被反轉了

$F={\frac {1}{r_{m}}}u=R_{m}u$

$i={\frac {1}{R}}V$

示例

上面繪製的簡單機械振盪器將成為一個並聯RLC電路。每個元件上的電勢是相同的，因為它們都以相同的速度工作。這通常是兩種類比方法中更直觀的一種，因為您可以將力“流動”視覺化為穿過系統的通量。此圖中的理想電壓發生器將對應於理想速度發生器。

**重要說明：**由於質量速度的度量是絕對的，因此在此類比中，電容器必須始終有一個端子接地。兩個端子都處於除接地以外的電勢的電容器可以在物理上實現為一個逆變器，它完成了此類比的所有元素。

阻抗

元件		阻抗
彈簧	電感器	$Z_{c}={\frac {V_{m}}{I_{m}}}={\frac {j\omega }{c_{m}}}$
質量	電容器	$Z_{m}={\frac {V_{c}}{I_{c}}}={\frac {1}{j\omega m_{m}}}$
阻尼器	電阻	$Z_{d}={\frac {V_{m}}{I_{m}}}=r_{m}={\frac {1}{R_{m}}}$

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