工程聲學/機械阻抗

機械阻抗

對於大多數系統，簡單振盪器並不是一個非常準確的模型。雖然簡單振盪器涉及動能和勢能之間的連續能量傳遞，並且兩者之和保持不變，但真實系統涉及部分能量的損失或耗散，這些能量永遠不會恢復為動能或勢能。造成這種耗散的機制多種多樣，取決於許多因素。其中一些機制包括物體在空氣中運動時的阻力、熱損失和摩擦，但還有許多其他機制。通常，這些機制要麼難以建模，要麼根本無法建模，並且大多數都是非線性的。然而，已經開發了一種簡單的線性模型，試圖解釋系統中所有這些損失。

阻尼器

在阻尼系統中表示機械阻抗的最常見方法是使用阻尼器。阻尼器就像汽車中的減震器。它對系統的運動產生阻力，該阻力與系統的速度成正比。系統的運動越快，產生的機械阻抗就越大。

如上圖所示，假設阻尼器力與它運動的速度之間存線上性關係。將這兩個量聯絡起來的常數是 $R_{M}$，即阻尼器的機械阻抗。這種關係被稱為粘性阻尼定律，可以寫成

$F=R\cdot u$

還要注意，阻尼器產生的力始終與速度同相。

阻尼器耗散的功率可以透過觀察阻尼器在抵抗系統運動時所做的功來推導

$P_{D}={\frac {1}{2}}\Re \left[{\hat {F}}\cdot {\hat {u^{*}}}\right]={\frac {|{\hat {F}}|^{2}}{2R_{M}}}$

阻尼振子的建模

為了將機械阻抗（或阻尼）納入受迫振盪器模型，將一個阻尼器放置在彈簧旁邊。它的一端連線到質量 ($M_{M}$)，另一端連線到地面。需要開發一個新的描述力的方程

$F-S_{M}x-R_{M}u=M_{M}a\rightarrow F=S_{M}x+R_{M}{\dot {x}}+M_{M}{\ddot {x}}$

它的相量形式如下

${\hat {F}}e^{j\omega t}={\hat {x}}e^{j\omega t}\left[S_{M}+j\omega R_{M}+\left(-\omega ^{2}\right)M_{M}\right]$

阻尼振盪器的機械阻抗

之前，簡單振盪器的阻抗定義為 $\mathbf {\frac {F}{u}}$。利用上面的公式，我們可以計算阻尼振盪器的阻抗。

${\hat {Z_{M}}}={\frac {\hat {F}}{\hat {u}}}=R_{M}+j\left(\omega M_{M}-{\frac {S_{M}}{\omega }}\right)=|{\hat {Z_{M}}}|e^{j\Phi _{Z}}$

對於非常低的頻率，由於 ${\frac {1}{\omega }}$ 的關係，彈簧項占主導地位。因此，阻抗的相位接近 ${\frac {-\pi }{2}}$ 對於非常低的頻率。這種相位導致速度在低頻下“滯後”於力。隨著頻率的增加，相位差增加到零。在共振時，阻抗的虛部消失，相位為零。此時阻抗純粹是電阻。對於非常高的頻率，質量項占主導地位。因此，阻抗的相位接近 ${\frac {\pi }{2}}$，速度在高頻下“超前”於力。

根據之前關於耗散功率的公式，我們可以看到阻抗的實部確實是 $R_{M}$。阻抗的實部也可以定義為相位的餘弦乘以它的模。因此，可以得到以下功率公式。

$W_{R}={\frac {1}{2}}\Re \left[{\hat {F}}{\hat {u^{*}}}\right]={\frac {1}{2}}R_{M}|{\hat {u}}|^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {|{\hat {F}}|^{2}}{|{\hat {Z_{M}}}|^{2}}}R_{M}={\frac {1}{2}}{\frac {|{\hat {F}}|^{2}}{|{\hat {Z_{M}}}|}}cos(\Phi _{Z})$

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