工程聲學/弦的橫向振動

簡介

本節討論了受限於一維的振動的波動性質。這種型別波動運動的例子可以在諸如直徑很小的管道和管子（流體無橫向運動）或樂器上拉伸的弦之類的物體中找到。

拉伸的弦可以用來發聲（例如，吉他等樂器）。拉伸的弦構成一個機械系統，本章將對其進行研究。稍後，該系統的特性將被用來透過類比來幫助理解聲學系統。

什麼是波動方程？

存在各種型別的波（即電磁波、機械波等），它們在我們周圍起作用。使用波動方程來描述這些波中感興趣變數的時空行為非常重要。波動方程以一種消除了所有變數但一個變數的方式求解運動的基本方程。波可以縱向或平行於傳播方向傳播，也可以垂直（橫向）於傳播方向傳播。要直觀地瞭解這些波的運動，請點選 這裡（凱特林大學 Dan Russell 博士提供的聲學動畫）

一維情況

假設 

- 弦的大小和密度均勻

- 弦的剛度在小變形情況下可以忽略不計

- 忽略重力影響

- 沒有摩擦力等耗散力

- 弦在平面內變形

- 弦的運動可以使用單個空間座標來描述

振動弦的空間表示

檔案：1Dwave graph1.png

以下是空間座標系中運動弦的自由體圖

檔案：String dwg.jpg

從上圖可以看出，弦兩側的張力相同，如下所示

檔案：Equations1.jpg

使用泰勒級數展開，我們得到

檔案：Equations2.jpg

機械系統的特性

一維波可以用以下方程（稱為波動方程）來描述

$\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\right)=\left({\frac {1}{c^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}\right)$

其中，

$y(x,t)=f(\xi )+g(\eta )\,$ 是一個解，

當 $\xi =ct-x\,$ 且 $\eta =ct+x\,$

這是達朗貝爾解，更多資訊請參見：[1]

求解該方程的另一種方法是變數分離法。這在模態分析中很有用。它假設解的形式為

$y(x,t)=f(x)g(t)\$

結果與上面相同，但形式更適合模態分析。

有關此方法的更多資訊，請參見：Eric W. Weisstein 等人。“變數分離”。摘自 Wolfram Web 資源 MathWorld。 [2]

有關變數 c 的資訊，以及其他重要屬性，請參見 波動特性。

有關波動方程的更多資訊，請參見：Eric W. Weisstein。“波動方程”。摘自 Wolfram Web 資源 MathWorld。 [3]

函式 $f(\xi )$ 的示例

示例：Java 字串模擬

這展示了固定兩端的撥絃的簡單模擬。

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