工程聲學/受迫振盪（簡諧彈簧-質量系統）

第一部分：集中聲學系統 – 1.1 – 1.2 – 1.3 – 1.4 – 1.5 – 1.6 – 1.7 – 1.8 – 1.9 – 1.10 – 1.11

第二部分：一維波運動 – 2.1 – 2.2 – 2.3

第三部分：應用 – 3.1 – 3.2 – 3.3 – 3.4 – 3.5 – 3.6 – 3.7 – 3.8 – 3.9 – 3.10 – 3.11 – 3.12 – 3.13 – 3.14 – 3.15 – 3.16 – 3.17 – 3.18 – 3.19 – 3.20 – 3.21 – 3.22 – 3.23 – 3.24

1.3節回顧

在上一節中，我們討論了在無外力作用下的簡諧彈簧-質量系統中新增阻尼元件（例如阻尼器）會如何影響系統的響應。特別是，我們瞭解到在系統中新增阻尼器會將系統的固有頻率從改變為新的阻尼固有頻率，以及這種改變如何使系統的響應從恆定的正弦響應變為指數衰減的正弦響應，其中系統具有欠阻尼、過阻尼或臨界阻尼響應。

在本節中，我們將稍微偏離一下，回到上一節的簡單（無阻尼）振盪器系統，但這次，將對該系統施加一個恆定的力，我們將研究該系統在低頻、高頻以及共振時的效能。特別是，本節將首先介紹彈簧-質量系統中彈簧和質量元件的特性，介紹彈簧和質量元件的電氣模擬，瞭解這些元件如何組合形成機械阻抗系統，並揭示阻抗如何描述機械系統的整體響應特性。接下來，將討論受迫簡諧彈簧-質量系統的功率耗散，以證實我們對受迫簡諧彈簧-質量系統使用電氣電路模擬的合理性。最後，將討論該系統的特徵響應，並引入一個稱為放大率 (AR) 的引數，該引數將有助於繪製受迫簡諧彈簧-質量系統的共振情況。

受迫彈簧元件

注意圖1，我們看到，對於一個施加了恆定外力的彈簧，其運動方程為...

{\hat {F}}=s_{M}\Delta {\hat {x}}\qquad (1.4.1)\,

其中 $s_{M}\,$ 是彈簧的機械剛度。

請注意，在圖 1(c) 中，力 ${\hat {F}}$ 在整個彈簧中持續流動（即不減弱），但彈簧的速度 ${\hat {u}}$ 從 ${\hat {u_{1}}}$ 減小到 ${\hat {u_{2}}}$ ，因為力流經彈簧。瞭解這個概念很重要，因為它將在後面的章節中用到。

實際上，彈簧的剛度 $s_{M}\,$ （也稱為彈簧常數）通常表示為 $C_{M}={\frac {1}{s_{M}}}\,$ ，即彈簧的機械順應性。因此，如果 $s_{M}\,$ 很大， $\Rightarrow \;C_{M}$ 則很小，彈簧就很硬。類似地，如果 $s_{M}\,$ 很小， $\Rightarrow \;C_{M}$ 則很大，彈簧就很鬆或“有彈性”。注意到力與速度在電氣系統中分別類似於電壓和電流，事實證明，彈簧的特性類似於電容器的特性，因此如果我們讓 $C=C_{M}\,$ （如下面的圖 2 所示），我們可以對彈簧的“反應性”進行建模，類似於電容器的電抗。

$Reactance\ of\ Capacitor:\ X_{C}={\frac {1}{j\omega C}}\qquad (1.4.2a)$

$Reactance\ of\ Spring:\ X_{MS}={\frac {1}{j\omega C_{M}}}\qquad (1.4.2b)$

受迫質量元件

請注意圖 3，對具有恆定外力的質量方程為...

{\hat {F}}=M_{M}{\hat {a}}=M_{M}{\hat {\dot {u}}}=M_{M}{\hat {\ddot {x}}}\qquad (1.4.3)

如果質量 $M_{M}\,$ 可以改變其值，並在機械系統中以最大振幅 $A_{M}\,$ 振盪，使得系統接收的輸入在頻率 $\omega \,$ 保持恆定，隨著 $M_{M}\,$ 增加，系統在 $\omega \,$ 下以 $A_{M}\,$ 移動質量會變得更加困難，最終，質量完全不再振盪。另一種等效的看法是，讓 $\omega \,$ 變化，保持 $M_{M}\,$ 恆定。類似地，隨著 $\omega \,$ 增加，讓 $M_{M}\,$ 在 $\omega \,$ 下振盪並保持相同的振幅 $A_{M}\,$ 會變得更加困難，最終，質量完全不再振盪。因此，隨著 $\omega \,$ 增加，質量 $M_{M}\,$ 的“反應性”降低（即 $M_{M}\,$ 開始越來越少地移動）。回想一下力/電壓和速度/電流的類比關係，事實證明，質量的特性與電感器類似。因此，如果我們讓 $L=M_{M}\,$ ，我們可以用類似電感器的電抗來模擬質量的“反應性”，如圖 4 所示。

$Reactance\ of\ Inductor:\ X_{L}=j\omega L\qquad (1.4.4a)$

$Reactance\ of\ Mass:\ X_{MM}=j\omega L_{M}\qquad (1.4.4b)$

彈簧-質量系統的機械阻抗

如前所述，力類似於電壓，速度類似於電流。由於這些關係，這意味著強迫簡單彈簧-質量系統的機械阻抗可以表示如下

{\hat {Z_{M}}}={\frac {\hat {F}}{\hat {u}}}\qquad (1.4.5)\,

一般來說，無阻尼彈簧-質量系統可以是“彈簧狀”或“質量狀”。“彈簧狀”系統可以被描述為“有彈性”，當系統引入輸入時，它們往往會大大超過其目標工作水平。這些型別的系統相對需要很長時間才能達到穩態。相反，“質量狀”可以被描述為“遲鈍”，它們往往達不到其預期的工作水平，即使在穩態下也是如此！就複雜的力和速度而言，我們說在質量狀系統中“力超前速度”，而在彈簧狀系統中“速度超前力”（或者等效地，在質量狀系統中“力滯後速度”，而在彈簧狀系統中“速度滯後力”。圖 5 以圖形方式顯示了這種關係。

簡單彈簧-質量系統的能量傳遞

從電路理論來看，系統中耗散的平均復功率 $P_{E}\,$ 表示為...

P_{E}={\frac {1}{2}}\mathbf {Re} \left\{{\hat {V}}{\hat {I^{*}}}\right\}\qquad (1.4.6)\,

其中 ${\hat {V}}\,$ 和 ${\hat {I^{*}}}\;$ 分別代表（時間不變的）覆電壓和複共軛電流。類似地，我們可以表達機械系統的淨功率耗散 ${\hat {P}}_{E}\,$ 以及彈簧狀系統的功率耗散 ${\hat {P}}_{MS}\,$ 或質量狀系統 ${\hat {P}}_{MM}\,$ 為...

{\hat {P}}_{E}={\frac {1}{2}}\mathbf {Re} \left\{{\hat {F}}{\hat {u^{*}}}\right\}\qquad \qquad \qquad (1.4.7a)\,}

{\hat {P}}_{MS}={\frac {1}{2}}\mathbf {Re} \left\{{\hat {F}}\left({\frac {j{\hat {F}}\omega }{s_{M}}}\right)^{*}\right\}\qquad (1.4.7b)

{\hat {P}}_{MM}={\frac {1}{2}}\mathbf {Re} \left\{{\hat {F}}\left({\frac {\hat {F}}{j\omega M_{M}}}\right)^{*}\right\}\qquad (1.4.7c)

在公式 1.4.7 中，我們可以看到複數力與速度的乘積純粹是虛數。由於無功元件，或通常稱為無損元件，不能耗散能量，這意味著系統的淨功率耗散為零。這意味著在我們簡單的彈簧-質量系統中，能量只能在彈簧和質量之間來回傳遞（完全）。但這正是簡單的彈簧-質量系統所做的事情。因此，透過評估功率耗散，這證實了用電氣電路元件模擬我們彈簧-質量系統中的機械元件的概念。

受迫簡單彈簧-質量系統的響應

下圖 6 顯示了施加了力的簡單彈簧-質量系統。

該系統具有與無阻尼振盪器系統相似的響應特性，唯一的區別是，在穩態時，系統以恆定的力幅值和頻率振盪，而在無強迫的情況下，系統以指數衰減至零。回憶公式 1.4.2b 和 1.4.4b，令為彈簧-質量系統的自然（共振）頻率，令 $\omega _{n}\,$ 為系統接收的輸入頻率，受迫彈簧-質量系統的特徵響應在下圖 7 中以圖形方式顯示。