算術/指數

指數

指數或“冪”是重複乘法的過程，就像乘法是重複加法的過程一樣。

指數通常寫成 $a^{b}$的形式，其中$a$是底數，$b$是指數。在不能使用上標的上下文中，例如在許多計算機環境中，$a^{b}$通常寫成“a^b”，或者更少見地寫成“a**b”。如果你不熟悉代數，你可以想象字母 a 和 b 代表數字。我們讀 $a^{b}$為 *a 的 b 次方*，*a 的 b 次方* 或者 *a 指數 b*。

整數指數

當指數是正整數時，它只是將底數本身乘以一定次數。例如，

$3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81\,$

這裡，3 是 *底數*，4 是 *指數*（寫成上標），81 是 3 *乘以自身* 4 次 *冪*。請注意，底數 3 在重複乘法中出現了 4 次，因為指數是 4。

更多例子

${\begin{matrix}12^{2}=12\times 12=144\\2^{8}=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=256\\1^{5}=1\times 1\times 1\times 1\times 1=1\end{matrix}}$

指數的乘法

如果你有兩個或多個具有相同底數的指數，那麼將它們相乘的效果與將它們的指數相加相同。

例如，$(a^{b})*(a^{c})\,$與$a^{b+c}\,$相同。例如，

$(3^{4})*(3^{2})=(3*3*3*3)*(3*3)=(3*3*3*3*3*3)=(3^{6})=(3^{4+2})\,$

指數的除法

如果你有兩個或多個具有相同底數的指數，那麼將它們相除的效果與將它們的指數相減相同。

例如，$(a^{b})/(a^{c})\,$ 與 $a^{b-c}\,$ 相同。例如：

$(3^{6})/(3^{2})=(3*3*3*3*3*3)/(3*3)=(3*3*3*3)=(3^{4})=(3^{6-2})\,$

練習

什麼是？

1

$4^{3}=$

2

$3^{4}=$

3

$1^{250}=$

4

${250}^{1}=$

將這些數字寫成以 2 為底的冪

5

$128=2^{\wedge }$

6

$8=2^{\wedge }$

7

$1024=2^{\wedge }$

8 什麼是？

$(2^{3})*(2^{2})=$

9 什麼是？

$(2^{6})/(2^{2})=$

10 更難的：

為什麼 $3^{0}=1\,$（提示：想想 ${3^{2}}/{3^{2}}\,$，例如）（在紙上寫下答案）

負指數

負指數的工作方式略有不同。假設你想計算 $3^{-2}$。為此，你需要取 $1/3^{2}$ 來得到你的答案。我們首先進行指數運算，參見 運算順序

$3^{-2}={\frac {1}{3^{2}}}={\frac {1}{9}}$

交換律不適用於指數。自己試試！嘗試計算 2³，然後看看它是否與 3² 相同（答案在這裡）。分配律和結合律也不適用。

然而，指數也有其自身的一套公理，它們始終遵循。與前面的例子一致，我們可以一般地說明

$(a^{b})\times (a^{c})=a^{b+c}\,\,\,\,$ 和

$(a^{b})/(a^{c})=a^{b-c}\,\,\,\,$

也很容易看出${\begin{matrix}(a^{b})^{c}=a^{b\times c}\end{matrix}}$

分數指數

到目前為止，我們只看到了指數作為整數，但指數也可以是分數。對於分數指數，分子充當正常的整數指數，而分母充當根號。

一般來說，$a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}\,\,\,\,$ 對於任何實數 $q$ ≠ 0。

讓我們看看$8^{2/3}$ 作為一個例子。首先，我們將 8 提高到分子的冪，即 2。然後，由於分母是 3，我們取該數字的立方根。表示式讀作 *八的平方立方根*，寫成

$8^{2/3}={\sqrt[{3}]{8^{2}}}={\sqrt[{3}]{64}}=4$

然後應該很明顯，當分數指數的分子為 1 時，表示式是一個簡單的根。也就是說，$1/2$ 是一個平方根，$1/3$ 是一個立方根，$1/4$ 是一個四次根，等等。

例如，$9^{1/2}$ 將讀作 *九的平方根*，寫成

$9^{1/2}={\sqrt[{2}]{9^{1}}}={\sqrt {9}}=3$