基礎代數/數字運算/有理數加法

詞彙

分子
分母
最簡分數

課程

當分母相等時，加分數很容易。例如，加 ${\frac {3}{10}}$ 和 ${\frac {2}{10}}$ 非常簡單，只需將分子相加，你就會得到結果分數的分子

${\frac {3}{10}}+{\frac {2}{10}}={\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}$

注意簡化：十分之五是部分的一半。不幸的是，情況並不總是這麼簡單。有時我們需要加不同分母的分數。在我們能夠加它們之前，我們必須改變分數，使它們的分母相同。我們可以透過用數字一乘以每個分數來做到這一點，這不會改變分數的值）。然而，數字一的形式本身將表示為一個分數，其分母和分子相等，並且在我們控制之下。例如，所有這些分數都等於一

${\frac {2}{2}}={\frac {3}{3}}={\frac {107}{107}}=1$

瞭解這一點，我們可以改變分數的分母，使兩個分數的分母都相同。例如

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1\times 2}{3\times 2}}+{\frac {1\times 3}{2\times 3}}={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {5}{6}}$

在這種情況下，我們改變了兩個分數，使它們都具有6的分母。

更復雜的分數

在這些情況下，我們可以猜測要進行哪種乘法，但有時，這並不容易。例如，加 ${\frac {123}{456}}$ 和 ${\frac {234}{120}}$ 。

最簡單的通用方法是用第二個分數的分母乘以第一個分數的分子和分母，反之亦然。結果分母將是兩個原始分母的乘積。在這種情況下

${\frac {123}{456}}+{\frac {234}{120}}={\frac {123\mathbf {\times 120} }{456\mathbf {\times 120} }}+{\frac {234\mathbf {\times 456} }{120\mathbf {\times 456} }}={\frac {14760}{54720}}+{\frac {106704}{54720}}={\frac {14760+106704}{54720}}={\frac {121464}{54720}}$

我們通常得到很大的數字，這不是最優的，因為分數在大多數情況下可以用更小的數字來表示。

第二種方法比較微妙。我們不是用實際的分母相乘，而是為每一項乘以**儘可能小的數**，使得它們得到相同的分母。例如

${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1\times 2}{6\times 2}}+{\frac {1\times 3}{4\times 3}}={\frac {2}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {5}{12}}$

我們只在第一個分數中乘以了2，在第二個分數中乘以了3。得到的分數， ${\frac {5}{12}}$ 是最簡分數，我們稱之為**最簡形式**。

注意，2是 $4=2\times 2$ 的一半，3是 $6=3\times 2$ 的一半。我們沒有乘以給定的分母，而是避免了乘以因子2。讓我們以之前的例子為例，找出組成這些數字的因子……

123=\mathbf {3} \times 41

和

456=2\times 228=2\times 2\times 114=2\times 2\times 2\times 57=2\times 2\times 2\times \mathbf {3} \times 19

234=2\times 117=2\times 3\times 39=\mathbf {2\times 3} \times 3\times 13

和

120=2\times 2\times 3\times 10=2\times \mathbf {2\times 3} \times 2\times 5

我們可以看到，我們可以用3約簡 ${\frac {123}{456}}$ ，得到 ${\frac {41}{2\times 2\times 2\times 19}}$ ，並用2 × 3約簡 ${\frac {234}{120}}$ ，得到 ${\frac {39}{2\times 2\times 5}}$ 。記住，分子和分母乘以相同的數，分數的值不會改變。當除以相同的數時，也是如此。

現在有一個問題：包含因子 $2\times 2\times 2\times 19$ 和因子 $2\times 2\times 5$ 的最小的整數是什麼？它是包含所有這些因子且數量正確的數： $2\times 2\times 2\times 5\times 19=760$ 。

為了得到這個數，我們必須在第一個分數中乘以5，在第二個分數中乘以2 × 19。所以，最終我們得到

${\frac {123}{456}}+{\frac {234}{120}}={\frac {41}{2\times 2\times 2\times 19}}+{\frac {39}{2\times 2\times 5}}={\frac {41\mathbf {\times 5} }{760}}+{\frac {39\mathbf {\times 2\times 19} }{760}}={\frac {205}{760}}+{\frac {1482}{760}}={\frac {1687}{760}}$