微積分/微分/導數應用/練習

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相對極值

找到以下函式的相對最大值和最小值（如果有）。

1.

f(x)={\frac {x}{x+1}}

無

2.

f(x)={\sqrt[{3}]{(x-1)^{2}}}

在點

(1,0)

處取最小值

在點

(1,0)

處取最小值

3.

f(x)=x^{2}+{\frac {2}{x}}

在

x=1

處取相對最小值

在

x=1

處取相對最小值

4.

f(s)={\frac {s}{1+s^{2}}}

在

s=-1

處取相對最小值
在

s=1

處取相對最大值

在

s=-1

處取相對最小值
在

s=1

處取相對最大值

5.

f(x)=x^{2}-4x+9

在

x=2

處取相對最小值

在

x=2

處取相對最小值

6.

f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}}

在

x=-1

處取相對最小值
在

x=1

處取相對最大值

在

x=-1

處取相對最小值
在

x=1

處取相對最大值

解答

函式值域

7. 證明表示式

x+{\frac {1}{x}}

不能取任何嚴格介於 2 和 -2 之間的任何值。

${\begin{aligned}&f(x)=x+{\frac {1}{x}}\\&f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}\\&1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1\\&f''(x)={\frac {2}{x^{3}}}\\&f''(-1)=-2\end{aligned}}$

由於 $f''(-1)$ 為負數， $x=-1$ 對應於一個相對最大值。
${\begin{aligned}&f(-1)=-2\\&\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \end{aligned}}$

對於 $x<-1$ ， $f'(x)$ 為正，這意味著函式是遞增的。從非常負的 $x$ 值開始， $f$ 從一個非常負的值增加到在 $x=-1$ 處達到一個相對最大值 $-2$ 。
對於 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 為負，這意味著函式是遞減的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$
$f''(1)=2$
由於 $f''(1)$ 為正， $x=1$ 對應於一個相對最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 之間，函式從 $-2$ 遞減到 $-\infty$ ，然後跳到 $+\infty$ ，並一直遞減直到達到一個相對最小值 $2$ ，該最小值位於 $x=1$ 。
對於 $x>1$ ， $f'(x)$ 為正，因此函式從最小值 $2$ 開始遞增。

以上分析表明，該函式的值域在

-2

和

2

之間存在間隙。

${\begin{aligned}&f(x)=x+{\frac {1}{x}}\\&f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}\\&1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1\\&f''(x)={\frac {2}{x^{3}}}\\&f''(-1)=-2\end{aligned}}$

由於 $f''(-1)$ 為負數， $x=-1$ 對應於一個相對最大值。
${\begin{aligned}&f(-1)=-2\\&\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \end{aligned}}$

對於 $x<-1$ ， $f'(x)$ 為正，這意味著函式是遞增的。從非常負的 $x$ 值開始， $f$ 從一個非常負的值增加到在 $x=-1$ 處達到一個相對最大值 $-2$ 。
對於 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 為負，這意味著函式是遞減的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$
$f''(1)=2$
由於 $f''(1)$ 為正， $x=1$ 對應於一個相對最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 之間，函式從 $-2$ 遞減到 $-\infty$ ，然後跳到 $+\infty$ ，並一直遞減直到達到一個相對最小值 $2$ ，該最小值位於 $x=1$ 。
對於 $x>1$ ， $f'(x)$ 為正，因此函式從最小值 $2$ 開始遞增。

以上分析表明，該函式的值域在

-2

和

2

之間存在間隙。

絕對極值

確定以下函式在給定定義域上的絕對最大值和最小值

8.

f(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}+1

在

[0,3]

上

最大值在

(3,{\tfrac {11}{2}})

；最小值在

(1,{\tfrac {5}{6}})

最大值在

(3,{\tfrac {11}{2}})

；最小值在

(1,{\tfrac {5}{6}})

9.

f(x)=\left({\frac {4}{3}}x^{2}-1\right)x

在

[-{\tfrac {1}{2}},2]

上

最大值在

(2,{\tfrac {26}{3}})

; 最小值在

({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}})

最大值在

(2,{\tfrac {26}{3}})

; 最小值在

({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}})

解答

確定變化區間

找出以下函式的遞增或遞減區間

10.

f(x)=10-6x-2x^{2}

在

(-\infty ,-{\tfrac {3}{2}})

上遞增；在

(-{\tfrac {3}{2}},\infty )

上遞減

在

(-\infty ,-{\tfrac {3}{2}})

上遞增；在

(-{\tfrac {3}{2}},\infty )

上遞減

11.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

在

(1,3)

上遞減；在其他地方遞增

在

(1,3)

上遞減；在其他地方遞增

12.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

在

(-2,3)

上遞增；在其他地方遞減

在

(-2,3)

上遞增；在其他地方遞減

13.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

在

(-2,3)

上遞增；在其他地方遞減

在

(-2,3)

上遞增；在其他地方遞減

14.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

在

(-2,4)

上遞減；在其他地方遞增

在

(-2,4)

上遞減；在其他地方遞增

15.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

在

(-2,6)

上遞減；在其他地方遞增

在

(-2,6)

上遞減；在其他地方遞增

解答

確定凹凸區間

找出以下函式的凹向上的或凹向下的區間

16.

f(x)=10-6x-2x^{2}

始終向下凹陷

17.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

在

(-\infty ,2)

上向下凹陷；在

(2,\infty )

上向上凹陷

在

(-\infty ,2)

上向下凹陷；在

(2,\infty )

上向上凹陷

18.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上向上凹陷；在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上向下凹陷

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上向上凹陷；在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上向下凹陷

19.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上向上凹陷；在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上向下凹陷

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上向上凹陷；在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上向下凹陷

20.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

在

(-\infty ,1)

上向下凹陷；在

(1,\infty )

上向上凹陷

在

(-\infty ,1)

上向下凹陷；在

(1,\infty )

上向上凹陷

21.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

在

(-\infty ,2)

上向下凹陷；在

(2,\infty )

上向上凹陷

在

(-\infty ,2)

上向下凹陷；在

(2,\infty )

上向上凹陷

解答

文字題

22. 你從拐角處探頭。一隻距離你 64 米的迅猛龍發現了你。你以每秒 6 米的速度逃跑。迅猛龍追趕，以

4t

米每秒的速度朝你剛離開的拐角跑去（時間

t

以秒為單位，從發現你開始計時）。在你跑了 4 秒之後，迅猛龍距離拐角 32 米。這時，死亡以多快的速度逼近你即將被撕碎的肉體？也就是說，你與迅猛龍之間距離的變化率是多少？

10{\tfrac {\rm {m}}{\rm {s}}}

10{\tfrac {\rm {m}}{\rm {s}}}

23. 兩輛腳踏車同時從一個十字路口出發。一輛向北行駛，速度為

12{\rm {\,mph}}

，另一輛向東行駛，速度為

5{\rm {\,mph}}

。一小時後，兩輛腳踏車之間的距離以多快的速度增加？

13{\rm {\,mph}}

13{\rm {\,mph}}

24. 你要製作一個體積為

200{\rm {\,m^{3}}}

的罐子，罐身用金材料，頂部和底部用銀材料。假設金材料每

{\rm {m^{2}}}

售價 10 美元，銀材料每

{\rm {m^{2}}}

售價 1 美元。這種罐子的最低成本是多少？

$878.76

25. 一位農民要投資

216{\rm {\,cm}}

的柵欄，用來建造一個戶外圍欄，用來展示三種不同的動物出售。為了節約成本，他利用了戶外牲畜棚的一面牆作為圍欄區域的一邊，這可以完全包圍整個區域。他希望為動物漫遊而設的內部區域是全等的（即，他希望將總區域分成三個相等的區域）。在這些條件下，動物可以漫遊的最大內部區域是多少？

972{\rm {\,cm^{2}}}

972{\rm {\,cm^{2}}}

26. 在半徑為

r

的圓形內，內接（使矩形的角點在圓周上）矩形的最大面積是多少？

2r^{2}

.

2r^{2}

.

27. 一個圓柱體要被放入一個半徑為

R=3{\rm {\,in}}

的玻璃球形展示櫃中。（球體將在圓柱體周圍形成。）在這樣的展示櫃中，圓柱體能達到的最大體積是多少？

12\pi {\sqrt {3}}{\rm {\,in^{3}}}

.

12\pi {\sqrt {3}}{\rm {\,in^{3}}}

.

28. 一個身高

6\,{\rm {ft}}

的人正在遠離一個離地面

15

英尺高的燈。這個人以

6

英尺/秒的速度遠離燈光。這個人投下的影子，其長度隨時間變化的速度（指速率，而非速度）是多少？

4{\rm {\,ft/s}}

.

4{\rm {\,ft/s}}

.

29. 一艘獨木舟被一根繃緊的繩子拉向碼頭（垂直於水面）。獨木舟在被拉動的過程中始終垂直於水面。繩子以恆定的 $5\,{\rm {ft/s}}$ 速度被拉入。碼頭離水面 $5\,{\rm {ft}}$ 。回答以下問題 (a) 至 (b)。

(a) 當

13\,{\rm {ft}}

的繩子伸出時，船以多快的速度靠近碼頭？

13{\rm {\,ft/s}}

.

13{\rm {\,ft/s}}

.

(b) 因此，繩子與碼頭之間的角度變化率是多少？

0.2{\rm {\,rad/s}}

.

0.2{\rm {\,rad/s}}

.

30. 一位非常熱情的家長正在用攝像機拍攝你班上的一名跑步者在

100\,{\rm {m}}

比賽中的表現。家長讓跑步者保持在畫面中央，並以離直線跑道

2\,{\rm {m}}

的距離進行錄製。你班上的跑步者以恆定的

4\,{\rm {m/s}}

速度奔跑。如果跑步者在家長直接拍攝（即跑步者的運動方向與家長的視線垂直的點）後半秒鐘經過家長，那麼拍攝角度的變化率是多少？

1\,{\rm {rad/s}}

1\,{\rm {rad/s}}

解答

函式作圖

對於以下每個示例，繪製一個滿足給定特徵的函式圖

30.

f(1)=f(-2)=0,\ \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }f(x)=0,\ {\mbox{ vertical asymptote at }}x=-3,\ f'(x)>0{\mbox{ on }}(0,2),

f'(x)<0{\mbox{ on }}(-\infty ,-3)\cup (-3,0)\cup (2,\infty ),\ f''(x)>0{\mbox{ on }}(-3,1)\cup (3,\infty ),\ f''(x)<0{\mbox{ on }}(-\infty ,-3)\cup (1,3).

滿足所有條件的函式有很多，以下是一個例子。

滿足所有條件的函式有很多，以下是一個例子。

31.

f{\mbox{ has domain }}[-1,1],\ f(-1)=-1,\ f(-{\tfrac {1}{2}})=-2,\ f'(-{\tfrac {1}{2}})=0,\ f''(x)>0{\mbox{ on }}(-1,1)

滿足所有條件的函式有很多，以下是一個例子。

滿足所有條件的函式有很多，以下是一個例子。

解答

近似問題

在這些問題中，假設 $\pi \approx 3.14$ 以及 $e\approx 2.718$ ，除非另有說明。可以使用計算器或編寫計算機程式，但必須說明每一步所用方法和推理。

35. 使用任何方法近似

\sin(3)

。如果使用牛頓法或尤拉法，則最多進行三次迭代。

示例：使用尤拉法，步長

\Delta x=0.14

，以及

f(x,y)=1-y^{2}

近似

\sin(3)\approx 0.14

。有關詳細資訊，請參見解題頁。

示例：使用尤拉法，步長

\Delta x=0.14

，以及

f(x,y)=1-y^{2}

近似

\sin(3)\approx 0.14

。有關詳細資訊，請參見解題頁。

36. 使用任何方法近似

{\sqrt {2}}

。如果使用牛頓法或尤拉法，則最多進行三次迭代。

示例:

{\sqrt {2}}\approx 1.4167

使用牛頓-拉夫森法透過

2

次迭代求得。詳情請見解題頁面。

示例:

{\sqrt {2}}\approx 1.4167

使用牛頓-拉夫森法透過

2

次迭代求得。詳情請見解題頁面。

37. 使用任何方法近似

\ln(3)

。如果您使用牛頓法或尤拉法，請在最多三 (3) 次迭代中完成。

示例:

\ln(3)\approx 1.10{\text{ OR }}1.09

使用區域性點線性化。詳情請見解題頁面。

示例:

\ln(3)\approx 1.10{\text{ OR }}1.09

使用區域性點線性化。詳情請見解題頁面。

解答

高階理解

45. 考慮可微函式 $f(x)$ 對於所有 $x>-2$ 以及下面的連續函式 $g(x)$ ，其中 $g(x)$ 對所有 $x\geq 1$ 是線性的，並且對所有 $x\in (-2,1)\cup (1,\infty )$ 是可微的，並且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 對所有 $x\geq -2$ 是連續的。