微積分/乘積法則

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當我們想要微分一個更復雜的表示式，例如

h(x)=(x^{2}+5x+7)\cdot (x^{3}+2x-4)

我們唯一的方法（截至目前）來微分這個表示式是把它展開得到一個多項式，然後微分那個多項式。當手工計算時，這種方法變得非常複雜，並且容易出錯。初學者可能會猜測乘積的導數是導數的乘積，類似於加法和減法規則，但這並不正確。為了求乘積的導數，我們使用乘積法則。

乘積的導數（乘積法則）

${\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)\,\!$

它也可以寫成

(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!

或者用萊布尼茨符號寫成

{\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}

.

三個函式乘積的導數為

{\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}

.

由於兩個或多個函式的乘積出現在許多物理現象的數學模型中，因此乘積法則在物理學、化學和工程學中有著廣泛的應用。

示例

假設我們想要微分ƒ(x) = x² sin(x)。使用乘積法則，我們得到導數ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x)（因為x²的導數是2x，sin(x)的導數是cos(x)）。
乘積法則的一種特殊情況是常數倍法則，它指出：如果c是實數，ƒ(x)是可微函式，那麼cƒ(x)也是可微的，它的導數為(c × ƒ)'(x) = c × ƒ '(x)。這是因為任何常數的導數都是零。這與導數的加法規則相結合，表明微分是線性的。
分部積分法是根據乘積法則推匯出來的，商法則（一個弱版本）也是如此。（它是一個“弱”版本，因為它沒有證明商是可微的，只是說明了它的導數是什麼，如果它是可微的。）

物理示例 I：電磁感應

法拉第電磁感應定律指出，感應電動勢是透過導電迴路的磁通量變化率的負值。

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt},$

其中 ${\mathcal {E}}$ 是以伏特為單位的電動勢 (emf)，Φ_B 是以韋伯為單位的磁通量。對於面積為 A 的迴路在磁場 B 中，磁通量由下式給出

$\Phi _{B}=B\cdot A\cdot \cos(\theta ),$

其中 θ 是電流回路的法線與磁場方向之間的夾角。

對磁通量關於時間求負導數，得到電動勢為

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}&=-{\frac {d}{dt}}\left(B\cdot A\cdot \cos(\theta )\right)\\&=-{\frac {dB}{dt}}\cdot A\cos(\theta )-B\cdot {\frac {dA}{dt}}\cos(\theta )-B\cdot A{\frac {d}{dt}}\cos(\theta )\\\end{aligned}}$