微積分/一些重要定理/解答

羅爾定理

1. 證明羅爾定理在函式 $f(x)=x^{2}-3x$ 的 x 軸截距之間成立。

均值定理

2. 證明 $h(a)=h(b)$，其中 $h(x)$ 是柯西均值定理證明中定義的函式。

3. 證明中值定理可以由柯西中值定理推匯出來。

4. 對於函式 $f(x)=x^{3}$，端點為 $x=0$ 和 $x=2$，求滿足中值定理的 $x=c$。

1: 使用中值定理的表示式

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

代入值。我們選擇的區間是 $[0,2]$。所以，我們有

${\frac {f(2)-f(0)}{2-0}}={\frac {8}{2}}=4$

2: 根據中值定理，我們知道在區間記憶體在一個點，其斜率與該點相同。因此，讓我們求導數來找到這個點 $x=c$.

${\frac {dy}{dx}}=3x^{2}$

現在，我們知道該點的斜率是 4。所以，該點 $c$ 的導數是 4。因此，$4=3x^{2}$。所以 $x={\sqrt {4/3}}=\mathbf {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$

5. 在函式 $f(x)=\sin(x)$ 和區間 $[0,\pi ]$ 上，找到滿足中值定理的點。

1: 我們從表示式開始

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

所以，

${\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi -0}}=0$

(記住，sin(π) 和 sin(0) 都是 0。)

2: 現在我們有了直線的斜率，我們必須找到具有相同斜率的點 x = c。我們現在必須求導數！

${\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)=0$

餘弦函式在 $\pi /2+\pi n$ (其中 $n$ 是一個整數) 為 0。記住，我們受區間 $[0,\pi ]$ 的限制，所以 $\mathbf {\pi /2}$ 是滿足中值定理的點 $c$。