複分析/鏈上的積分

定義（連續可微1鏈）:

一個連續可微1鏈是所有連續可微曲線集合上的自由$\mathbb {Z}$-模的一個元素$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$.

定義（像）:

令$\Gamma$為一個連續可微1鏈。那麼$\Gamma$的像定義為

$\bigcup _{k=1}^{n}\gamma _{k}([0,1])$,

其中$\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$恰好是所有滿足$\Gamma (\gamma )\neq 0$的連續可微曲線$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$.

幅角和繞數

假設我們給定一個在$\mathbb {C}$中支撐的閉合輪廓，並假設我們是一個位於原點的觀察者。假設我們想要測量一個運動物體繞我們旋轉的次數（即，穿過一個與我們有固定角度的固定點的次數）。由此產生的數字被稱為給定閉合輪廓的繞數。需要注意的是，它是有符號的；也就是說，如果輪廓在（關於角度距離）第一次繞過圓圈，然後再次繞過圓圈，但方向相反，那麼繞數應該為零。

為了使之精確，

幅角定義到圓圈，並提升到標準覆蓋

後者的同倫不變性

定理（柯西公式）:

令$U\subseteq \mathbb {C}$為開集，令$\Gamma$為一個包含在$U$內，並且在$U$中是零同調的迴圈。令$f:U\to \mathbb {C}$為一個全純函式。那麼我們有

$\int _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=\operatorname {ind} _{\Gamma }(z_{0})f(z_{0})$

對所有不在 $\Gamma$ 軌跡上的 $z_{0}$

證明： 在 $U\times U$ 上定義一個函式

$G(z,w):={\begin{cases}{\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}&z\neq w\\f'(z)&z=w.\end{cases}}$

當一個變數固定時，這個函式在另一個變數中是全純的。因此，考慮函式

$g(w):={\begin{cases}\int _{\Gamma }G(z,w)dz&w\in U\\0&w\notin U\end{cases}}$,

我們發現 $g$ 在 $U$ 上是全純的，因為 交換積分和微分。但事實上它在 $\mathbb {C}$ 上是全純的，因為我們假設迴圈 $\Gamma$ 在 $U$ 上是零同調的。必要時縮小 $U$，我們可以假設 $U$ 是有界的，因為 曲線的像是一個緊集 並且 緊集的有限並集也是緊集。然後 $g$ 透過 一個魏爾斯特拉斯型別的定理 以及 劉維爾定理 變成了一個有界函式，因此它是常數，因此等於零。特別是，代入 $w=z_{0}$，我們得到

$\int _{\Gamma }{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}dz=0$,

也就是說，

$\int _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=\int _{\Gamma }{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}}}dz=f(z_{0})\operatorname {ind} _{\Gamma }(z_{0})$. $\Box$

定義（鏈積分）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 為開集，並令 $f:U\to \mathbb {C}$ 為全純函式。令 $\Gamma$ 為一個連續可微的 1-鏈，其像包含在 $U$ 中。那麼在 $\Gamma$ 上的**積分**定義為

$\int _{\Gamma }f(z)dz:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\int _{\gamma _{k}}f(z)dz$,

其中

$\Gamma =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\gamma _{k}$.

命題（同調鏈產生相同的積分）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 為開集，並令 $f:U\to \mathbb {C}$ 為一個全純函式。假設 $\Gamma _{1},\Gamma _{2}$ 是連續可微的 1 鏈，其像包含在 $U$ 中，使得 $\Gamma _{1}-\Gamma _{2}=\delta \Sigma$ 對於某個 2 鏈 $\Sigma$ 在 [[$\mathbb {Z}$ 上的奇異鏈復形]] 中。那麼

$\int _{\Gamma _{1}}f(z)dz=\int _{\Gamma _{2}}f(z)dz$.

證明：根據鏈上的積分定義，只需證明當 $\Sigma$ 是一個 2 鏈時，

$\int _{\delta \Sigma }f(z)dz=0$.

此外，根據線性性，我們可以限制為 $\Sigma :\Delta ^{2}\to U$ 是單純形的情況。但 $\delta \Sigma$ 是零同調的，因此

$\int _{\delta \Sigma }f(z)dz=0$

根據 柯西定理。 $\Box$

定理（留數定理）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 為一個開的有界子集。令 $\Gamma$ 為一個迴圈，其像包含在 $U$ 中，並令 $f:U\to \mathbb {C}$ 為亞純函式，因此 $f$ 的任何奇點都不包含在 $\Gamma$ 的像中。那麼

$\int _{\Gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {ind} _{\Gamma }(s_{k})\operatorname {res} _{s_{k}}(f)$,

其中 $s_{1},\ldots ,s_{n}\in U$ 是 $f$ 的奇點。

證明： 注意到任何 $\mathbb {C}$ 中連續的 1-鏈的像都是緊緻的，因此由於 $\mathbb {C}$ 是 Hausdorff 空間，所以是閉集。因此，對於 $f$ 的每個奇點 $s_{j}$，選擇一個半徑 $r_{j}>0$，使得 $\Gamma$ 的像與 ${\overline {B_{r_{j}}(s_{j})}}$ 不相交，並且後者應該包含在 $U$ 中（畢竟，它是開集）。此外，設定 $\gamma _{j}:=\operatorname {ind} _{\Gamma }(s_{k})\partial B_{r_{j}}(s_{j})$，其中後者的邊界路徑被遍歷一次，並且是逆時針方向（所以它的繞數為 1）。然後定義一個新的連續可微 1-鏈：

$\Delta :=\Gamma -\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}$.

那麼 $\Delta$ 將是零同調的，因此根據柯西定理和柯西公式

$0=\int _{\Delta }f(z)dz=\int _{\Gamma }f(z)dz-2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {ind} _{\Gamma }(s_{k})\operatorname {res} _{s_{k}}(f)$. $\Box$