控制系統/控制器和補償器

控制器

已經對許多不同的標準控制系統型別進行了廣泛的研究。這些控制器，特別是P、PD、PI和PID控制器，在物理系統的生產中非常常見，但正如我們將在下文中看到，它們各自也存在一些缺點。

比例控制器

比例控制器框圖

比例控制器僅僅是增益值。它們本質上是乘法系數，通常用K表示。P控制器只能將系統的極點強制到系統根軌跡上的某個位置。P控制器不能用於任意極點配置。

我們用許多不同的名稱來指代這種控制器：比例控制器、增益和零階控制器。

微分控制器

比例-微分控制器框圖

在拉普拉斯域中，我們可以使用以下符號表示訊號的導數

$D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)-f(0)$

由於我們正在考慮的大多數系統都具有零初始條件，因此可以簡化為

$D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)$

微分控制器被用來預測未來的值。它們透過獲取訊號的導數，並根據訊號在未來將要達到的位置進行控制。使用微分控制器時要謹慎，因為即使是很小的高頻噪聲也會造成非常大的導數，表現為放大了的噪聲。此外，在硬體或軟體中完美地實現微分控制器是困難的，因此，通常情況下，只使用積分控制器或比例控制器的解決方案比使用微分控制器更受歡迎。

請注意，微分控制器不是真值系統，因為系統的分子階數大於系統的分母階數。這種非真值系統屬性也使得對這些系統進行某些數學分析變得困難。

Z域導數

我們這裡不再推導這個方程，但只需說，Z域中的以下方程與拉普拉斯域導數執行相同的函式

$D(z)={\frac {z-1}{Tz}}$

其中T是訊號的取樣時間。

積分控制器

比例-積分控制器框圖

要在拉普拉斯域傳遞函式中實現積分，我們使用以下公式

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(t)\,dt\right\}={1 \over s}F(s)$

這種型別的積分控制器將曲線在過去時間內的面積加起來。透過這種方式，PI控制器（以及最終的PID控制器）可以考慮控制器過去的表現，並根據過去的誤差進行修正。

Z域積分

積分控制器可以在Z域中使用以下方程來實現

$D(z)={\frac {z+1}{z-1}}$

PID控制器

PID 控制器方框圖

PID 控制器是比例、微分和積分控制器的組合。因此，PID 控制器具有很大的靈活性。我們將在下面看到，PID 控制存在一定的侷限性。

PID 傳遞函式

標準 PID 控制器的傳遞函式是比例、積分和微分控制器傳遞函式的加和（因此得名 PID）。此外，我們給每個項一個增益常數，以控制每個因子對最終輸出的影響權重

[PID]

$D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s$

請注意，我們可以用略微不同的方式寫出 PID 控制器的傳遞函式

$D(s)={\frac {A_{0}+A_{1}s}{B_{0}+B_{1}s}}$

當我們研究多項式設計時，這種形式的方程將特別有用。

PID 訊號流圖

PID 控制器的訊號流圖

PID 調整

選擇各種係數值以使 PID 控制器正常工作的過程稱為PID 調整。有許多不同的方法可以確定這些值：

1) 直接合成 (DS) 方法

2) 內部模型控制 (IMC) 方法

3) 控制器調整關係

4) 頻率響應技術

5) 計算機模擬

6) 控制系統安裝後的線上調整

7) 試錯法

註釋

數字 PID

在 Z 域中，PID 控制器具有以下傳遞函式

[數字 PID]

$D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]$

我們可以透過對上述方程進行操作來將其轉換為規範方程，得到

$D(z)={\frac {a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}{1+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}}$

其中

$a_{0}=K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {K_{d}}{T}}$

$a_{1}=-K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {-2K_{d}}{T}}$

$a_{2}={\frac {K_{d}}{T}}$

$b_{1}=-1$

$b_{2}=0$

一旦我們得到了PID控制器的Z域傳遞函式，就可以將其轉換為數字時域。

$y[n]=x[n]a_{0}+x[n-1]a_{1}+x[n-2]a_{2}-y[n-1]b_{1}-y[n-2]b_{2}$

最後，從這個差分方程，我們可以建立一個數字濾波器結構來實現PID。

Bang-Bang控制器

儘管Bang-Bang控制器的名稱聽起來很土氣，但它是一個非常有用的工具，只有透過數字方法才能真正實現。Bang-Bang控制器更恰當的名稱可能是開/關控制器，其中數字系統根據目標值和閾值做出決策，並決定是開啟還是關閉控制器。Bang-Bang控制器是一種非線性控制方式。

以家用爐子為例。爐子中的燃油在特定溫度下燃燒——它不能燃燒得更熱或更冷。為了控制房屋中的溫度，恆溫器控制單元決定何時開啟爐子，何時關閉爐子。這種開/關控制方案就是Bang-Bang控制器。

補償

有許多不同的補償單元可以用來幫助修正超出正常工作範圍的某些系統指標。最常見的是相位特性需要補償，尤其是在幅值響應保持恆定的時候。補償主要有四種類型：1. 超前補償 2. 滯後補償 3. 超前滯後補償 4. 滯後超前補償

相位補償

有時，需要改變給定系統的相位特性，而又不改變幅值特性。為此，我們需要以改變相位響應但不改變幅值響應的方式改變頻率響應。為了做到這一點，我們實現了一種特殊型別的控制器，稱為相位補償器。它們被稱為補償器，因為它們有助於改善系統的相位響應。

補償器主要有兩種型別：超前補償器和滯後補償器。如果將這兩種型別結合起來，就可以得到一種特殊的超前滯後補償器系統（超前滯後系統在實際應用中不可實現）。

在設計和實現相位補償器時，重要的是要分析其對系統增益和相位裕度的影響，以確保補償不會導致系統變得不穩定。超前相位補償：- 1 它與在開環傳遞函式中新增零相同，因為從零極點角度來看，零比極點更靠近原點，因此零的影響占主導地位。

超前相位

超前補償器的傳遞函式如下所示

[超前補償器]

$T_{lead}(s)={\frac {s-z}{s-p}}$

為了使補償器正常工作，必須滿足以下屬性

$|z|<|p|$

並且極點和零點的位置都應該靠近原點，位於LHP。因為只有一個極點和一個零點，所以它們都應該位於實軸上。

超前相位補償器有助於將傳遞函式的極點向左移動，這有利於穩定性。

滯後相位

滯後補償器的傳遞函式與超前補償器相同，如下所示

[滯後補償器]

$T_{lag}(s)={\frac {s-z}{s-p}}$

但是，在滯後補償器中，極點和零點的位置應該互換

$|p|<|z|$

極點和零點都應該靠近原點，位於實軸上。

滯後相位補償器有助於改善系統的穩態誤差。滯後補償器的極點應該非常靠近以幫助防止系統極點向右移動，從而降低系統穩定性。

超前滯後相位

超前滯後補償器的傳遞函式只是超前補償器和滯後補償器傳遞函式的乘積，表示如下

[超前滯後補償器]

$T_{Lag-lead}(s)={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})}{(s-p_{1})(s-p_{2})}}.$

通常情況下，以下關係必須成立

$|p_{1}|>|z_{1}|>|z_{2}|>|p_{2}|$

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外部連結

• ControlTheoryPro.com 上的標準控制器形式
• ControlTheoryPro.com 上的 PID 控制
• ControlTheoryPro.com 上的 PI 控制