控制系統/控制器和補償器

控制器

有很多種不同的標準型別的控制系統，已被廣泛研究。這些控制器，特別是 P、PD、PI 和 PID 控制器在物理系統的生產中非常常見，但正如我們將看到的那樣，它們各自都存在一些缺陷。

比例控制器

比例控制器框圖

比例控制器只是增益值。它們本質上是乘法系數，通常用K表示。P 控制器只能將系統極點強制到系統根軌跡上的某個點。P 控制器不能用於任意極點配置。

我們將這種型別的控制器稱為不同的名稱：比例控制器、增益和零階控制器。

微分控制器

比例-微分控制器框圖

在拉普拉斯域中，我們可以使用以下符號表示訊號的導數

$D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)-f(0)$

由於我們正在考慮的大多數系統都具有零初始條件，因此簡化為

$D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)$

實施微分控制器是為了考慮未來的值，透過求導數，並根據訊號在未來的走向進行控制。微分控制器應該謹慎使用，因為即使是少量的高頻噪聲也會導致非常大的導數，就像放大了的噪聲一樣。此外，在硬體或軟體中完美地實現微分控制器很困難，因此通常優先考慮僅使用積分控制器或比例控制器的解決方案，而不是使用微分控制器。

請注意，微分控制器不是真系統的，因為系統的分子階數大於系統的分母階數。這種非真系統的特性也使得對這些系統進行某些數學分析變得困難。

Z 域微分

我們不會在此推匯出這個等式，但可以說，Z 域中的以下等式執行與拉普拉斯域導數相同的函式

$D(z)={\frac {z-1}{Tz}}$

其中 T 是訊號的取樣時間。

積分控制器

比例-積分控制器框圖

要在拉普拉斯域傳遞函式中實施積分，我們使用以下內容

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(t)\,dt\right\}={1 \over s}F(s)$

這種型別的積分控制器累加過去時間的曲線下面積。透過這種方式，PI 控制器（最終是 PID）可以考慮控制器的過去效能，並根據過去的誤差進行校正。

Z 域積分

可以使用以下等式在 Z 域中實現積分控制器

$D(z)={\frac {z+1}{z-1}}$

PID 控制器

PID 控制器的框圖

PID 控制器是比例 (P)、微分 (D) 和積分 (I) 控制器的組合。因此，PID 控制器具有很大的靈活性。我們將在下面看到 PID 控制存在明顯的侷限性。

PID 傳遞函式

標準 PID 控制器的傳遞函式是比例、積分和微分控制器傳遞函式的總和（因此得名 PID）。此外，我們為每個項賦予一個增益常數，以控制每個因素對最終輸出的影響權重。

[PID]

$D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s$

請注意，我們可以用稍微不同的方式寫出 PID 控制器的傳遞函式。

$D(s)={\frac {A_{0}+A_{1}s}{B_{0}+B_{1}s}}$

當我們討論多項式設計時，這種形式的方程將特別有用。

PID 訊號流圖

PID 控制器的訊號流圖

PID 調節

選擇各種係數值以使 PID 控制器正常執行的過程稱為 **PID 調節**。有多種方法可以確定這些值：

1) 直接合成 (DS) 方法

2) 內部模型控制 (IMC) 方法

3) 控制器調節關係

4) 頻率響應技術

5) 計算機模擬

6) 控制系統安裝後的線上調節

7) 試錯

註釋

數字 PID

在 Z 域中，PID 控制器具有以下傳遞函式

[數字 PID]

$D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]$

我們可以透過操作上述方程來將其轉換為規範方程，得到

$D(z)={\frac {a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}{1+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}}$

其中

$a_{0}=K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {K_{d}}{T}}$

$a_{1}=-K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {-2K_{d}}{T}}$

$a_{2}={\frac {K_{d}}{T}}$

$b_{1}=-1$

$b_{2}=0$

一旦我們有了 PID 控制器在 Z 域的傳遞函式，我們就可以把它轉換成數字時間域

$y[n]=x[n]a_{0}+x[n-1]a_{1}+x[n-2]a_{2}-y[n-1]b_{1}-y[n-2]b_{2}$

最後，從這個差分方程，我們可以建立一個數字濾波器結構來實現 PID。

Bang-Bang 控制器

儘管 Bang-Bang 控制器這個名字聽起來很土，但它是一個非常有用的工具，只有使用數字方法才能真正實現。Bang-Bang 控制器更準確的名字可能是開/關控制器，其中一個數字系統根據目標值和閾值做出決策，並決定是否開啟或關閉控制器。Bang-Bang 控制器是一種非線性控制方式。

以家用爐子為例。爐子中的油在特定溫度下燃燒——它不能燃燒得更熱或更冷。因此，要控制你房子裡的溫度，恆溫器控制單元決定何時開啟爐子，何時關閉爐子。這種開/關控制方案就是 Bang-Bang 控制器。

補償

有許多不同的補償單元可以用來幫助修復某些超出正常工作範圍的系統指標。最常見的是需要補償相位特性，尤其是在幅頻響應需要保持不變的情況下。有四種主要的補償型別：1. 超前補償 2. 滯後補償 3. 超前-滯後補償 4. 滯後-超前補償

相位補償

有時，需要改變給定系統的相位特性，而不改變幅度特性。要做到這一點，我們需要以改變相位響應但不改變幅度響應的方式改變頻率響應。為此，我們實現了一種特殊型別的控制器，稱為相位補償器。它們被稱為補償器，因為它們有助於改善系統的相位響應。

補償器主要有兩種型別：超前補償器和滯後補償器。如果我們將兩種型別組合在一起，就可以得到一個特殊的滯後-超前補償器系統。（滯後-超前系統在實踐中不可實現）。

在設計和實現相位補償器時，重要的是要分析對系統增益裕度和相位裕度的影響，以確保補償不會導致系統變得不穩定。相位超前補償：- 1 它與在開環傳遞函式中增加零相同，因為從零極點觀點來看，零比極點更接近原點，因此零的影響占主導地位。

相位超前

超前補償器的傳遞函式如下

[超前補償器]

$T_{lead}(s)={\frac {s-z}{s-p}}$

為了使補償器正常工作，必須滿足以下屬性

$|z|<|p|$

並且極點和零點的位置都應該靠近原點，位於左半平面。因為只有一個極點和一個零點，所以它們都應該位於實軸上。

相位超前補償器有助於將傳遞函式的極點移向左側，這對穩定性很有利。

相位滯後

滯後補償器的傳遞函式與超前補償器相同，如下所示

[滯後補償器]

$T_{lag}(s)={\frac {s-z}{s-p}}$

然而，在滯後補償器中，極點和零點的位置應該互換

$|p|<|z|$

極點和零點都應該靠近原點，位於實軸上。

相位滯後補償器有助於改善系統的穩態誤差。滯後補償器的極點應該非常接近，以防止系統的極點向右移動，從而降低系統穩定性。

相位滯後-超前

滯後-超前補償器的傳遞函式只是超前和滯後補償器傳遞函式的乘積，表示為

[滯後-超前補償器]

$T_{Lag-lead}(s)={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})}{(s-p_{1})(s-p_{2})}}.$

通常，以下關係必須成立

$|p_{1}|>|z_{1}|>|z_{2}|>|p_{2}|$

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外部連結

• ControlTheoryPro.com 上的標準控制器形式
• ControlTheoryPro.com 上的 PID 控制
• ControlTheoryPro.com 上的 PI 控制