與單輸入單輸出系統相比，多輸入多輸出系統的控制律設計更加廣泛，因為額外的輸入 ( $q>1$ ) 提供了更多選擇，例如定義特徵向量或處理輸入的活動。這也意味著閉環系統一組期望特徵值的反饋矩陣 *K* 是**不唯一的**。所有提出的方法都有優點、缺點和某些限制。這意味著並非所有方法都適用於所有可能的系統，重要的是要檢查哪種方法可以應用於自己考慮的問題。

引數狀態反饋

可以透過引數狀態反饋 (德語： *vollständige modale Synthese*) 找到反饋矩陣 *K* 的一個簡單方法。一個多輸入多輸出系統

{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)

輸入向量為

u(t)=(u_{1}(t),u_{2}(t),\cdots ,u_{q}(t))=-K~x(t)

輸入矩陣 $B\in \mathbb {R} ^{p\times q}$ 和反饋矩陣 $K\in \mathbb {R} ^{q\times p}$ 。閉環系統的特徵值問題

{\dot {x}}(t)=(A-B~K)~x(t)=A_{CL}~x(t)

表示為

A_{CL}~{\tilde {v}}_{i}=(A-B~K)~{\tilde {v}}_{i}={\tilde {\lambda }}_{i}~{\tilde {v}}_{i}

其中， ${\tilde {\lambda }}_{i}\in \mathbb {C}$ 表示指定的特徵值，而 ${\tilde {v}}_{i}\in \mathbb {C} ^{p}$ 表示閉環系統的特徵向量。接下來，引入新的引數向量 $\phi _{i}=K{\tilde {v}}_{i}$ 並進行分配，特徵值問題被重新表述為

[1]

B~K~{\tilde {v}}_{i}=B~\phi _{i}=(A-{\tilde {\lambda }}_{i}~I)~{\tilde {v}}_{i}.

控制器綜合

1. 從公式 [1] 中，我們可以定義特徵向量為

{\tilde {v}}_{i}=(A-{\tilde {\lambda }}_{i}~I)^{-1}~B~\phi _{i}

2. 將新的引數向量 $\phi _{i}$ 連線起來，得到

\Phi =[\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{p}]=K[{\tilde {v}}_{1},{\tilde {v}}_{2},\cdots ,{\tilde {v}}_{p}],

其中，反饋矩陣 K 可以表示為

K=\Phi ~[{\tilde {v}}_{1},{\tilde {v}}_{2},\cdots ,{\tilde {v}}_{p}]^{-1}.

3. 最後，利用特徵向量定義，可以得到反饋矩陣的完整描述

K=[\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{p}]~[(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1},\cdots ,(A-{\tilde {\lambda }}_{p}~I)^{-1}~B~\phi _{p}]^{-1}.

引數向量可以任意定義，但必須線性無關。

備註

該方法適用於非二次 B 矩陣。
引數向量 $\phi _{i}$ 可以任意選擇。

示例

考慮動態系統

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}{x}_{1}(t)\\{x}_{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{bmatrix}}

由於正特徵值 $\lambda _{i}\in \{1,5\}$ ，該系統是不穩定的。應找到一個反饋矩陣 *K*，以實現具有特徵值 ${\tilde {\lambda }}_{1}=-4,{\tilde {\lambda }}_{2}=-2$ 的穩定閉環系統。

1. 引數向量定義為 $\phi _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ 和 $\phi _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

2. 產生的特徵向量是

{\tilde {v}}_{1}=(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1}=\left({\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-4&0\\0&-4\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}0.09\\0.38\end{bmatrix}}

和

{\tilde {v}}_{2}=(A-{\tilde {\lambda }}_{2}~I)^{-1}~B~\phi _{2}=\left({\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-2&0\\0&-2\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}0.29\\0.57\end{bmatrix}}.

3. 反饋矩陣使用以下公式計算

K=[\phi _{1},\phi _{2}]~[(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1},(A-{\tilde {\lambda }}_{2}~I)^{-1}~B~\phi _{2}]^{-1}\approx {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}0.09&0.29\\0.38&0.57\end{bmatrix}}^{-1}\approx {\begin{bmatrix}-9.68&4.92\\6.45&-1.53\end{bmatrix}}.

更精確的舍入會導致一個反饋矩陣

K={\begin{bmatrix}-10&5\\6.6{\overline {1}}&-1.5{\overline {5}}\end{bmatrix}}

奇異值分解和對角化

如果系統狀態矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{p\times p}$

{\dot {x}}(t)=A~x(t)+B~u(t)

可對角化，這意味著特徵值的個數和特徵向量的個數相等，那麼變換

x=M~x_{M}

可用於得出

M~{\dot {x}}_{M}(t)=AM~x_{M}(t)+B~u(t)

以及

{\dot {x}}_{M}(t)=M^{-1}AM~x_{M}(t)+M^{-1}~B~u(t).

變換矩陣 *M* 包含特徵向量 $v_{i}\in \mathbb {C} ^{p}$ 如下：

M=[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}]

這導致了一個新的對角狀態矩陣

A_{M}=M^{-1}~A~M={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{p}\end{bmatrix}}

由特徵值組成 $\lambda _{i}\in \mathbb {C}$ ，以及新的輸入

u_{M}(t)=M^{-1}~B~u(t)={\begin{bmatrix}u_{M,1}\\u_{M,2}\\\cdots \\u_{M,p}\end{bmatrix}}.

針對新的輸入 $u_{M}$ ，控制律設計為

u_{M}(t)=-K_{M}x_{M}(t)=-{\begin{bmatrix}K_{M,1}\\&K_{M,2}\\&&\ddots \\&&&K_{M,p}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}x_{M,1}(t)\\x_{M,2}(t)\\\cdots \\x_{M,p}(t)\end{bmatrix}}

閉環系統在新座標系下的表示式為

{\dot {x}}_{M}(t)=A_{M}~x_{M}(t)+u_{M}(t)=(A_{M}-K_{M})~x_{M}(t)={\begin{bmatrix}\lambda _{1}-K_{M,1}\\&\lambda _{2}-K_{M,2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{p}-K_{M,p}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}x_{M,1}(t)\\x_{M,2}(t)\\\cdots \\x_{M,p}(t)\end{bmatrix}}

反饋矩陣 $K_{M}$ 可以用於直接影響或改變每個特徵值。

最後一步，將新的輸入變換回原始座標系，得到原始反饋矩陣 *K*。新的輸入定義為

u_{M}(t)=M^{-1}~B~u(t)

和

u_{M}(t)=-K_{M}~x_{M}(t)=-K_{M}~M^{-1}~x(t).

從這些公式中可以得到如下恆等式：

M^{-1}~B~u(t)=-K_{M}~M^{-1}~x(t)

以及

u(t)=-B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}~x(t)=-K~x(t).

因此，反饋矩陣可以表示為

K=B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}.

要求

該控制器設計僅在以下要求得到滿足的情況下適用。

狀態矩陣 *A* 是可對角化的。
狀態數和輸入數相等 $p=q$ .
輸入矩陣 $B\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ 是可逆的。

示例

考慮動態系統

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}{x}_{1}(t)\\{x}_{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{bmatrix}}

由於正特徵值 $\lambda _{i}\in \{1,3\}$ ，該系統是不穩定的。特徵向量為

{\tilde {v}}_{1}={\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}

和

{\tilde {v}}_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}.

因此，變換矩陣可以記為

M={\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}

新座標系下的狀態矩陣可推匯出為：

A_{M}=M^{-1}~A~M={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}.

閉環系統所需的特徵值為 ${\tilde {\lambda }}_{1}=-5$ 和 ${\tilde {\lambda }}_{2}=-1$ ，因此反饋矩陣可透過以下公式求得：

\lambda _{1}-K_{M,1}=1-K_{M,1}={\tilde {\lambda }}_{1}=-5\quad \Rightarrow K_{M,1}=1+5=6

和

\lambda _{2}-K_{M,2}=3-K_{M,1}={\tilde {\lambda }}_{2}=-1\quad \Rightarrow K_{M,2}=3+1=4

因此，可得：

K_{M}={\begin{bmatrix}6&0\\0&4\\\end{bmatrix}}.

最後，原座標系下的反饋矩陣可透過以下公式計算：

K=B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}^{-1}~{\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}6&0\\0&4\\\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}-7&11\\11&-7\\\end{bmatrix}}.

西爾維斯特方程

該方法取自線上資源

KU Leuven: 第三章：狀態反饋 - 極點配置 (PDF, 308,5 kB) （不再存在）.
類似資源: 第四章極點配置 (PDF, 269,3 kB) by Zsófia Lendek

考慮閉環系統

{\dot {x}}(t)=A~x(t)+B~u(t)=(A-B~K)~x(t)=A_{CL}~x(t)

其中輸入為 $u(t)=-K~x(t)$ ，閉環狀態矩陣為 $A_{CL}=A-B~K$ 。期望的閉環特徵值為 ${\tilde {\lambda }}_{i}\in \mathbb {C}$ 可以選擇實數或複數，形式為 ${\tilde {\lambda }}_{i}=\alpha _{i}\pm j\beta _{i}$ ，期望特徵值的矩陣記為