控制系統/實現

實現

實現是指將系統的數學模型（在拉普拉斯域或狀態空間域）轉換為物理系統。有些系統不可實現。

需要牢記的一點是，拉普拉斯域表示和狀態空間表示是等效的，並且兩種表示都描述相同的物理系統。因此，我們需要一種方法在兩種表示之間進行轉換，因為每種表示都非常適合特定的分析方法。

例如，在將系統設計從繪圖板轉移到已構建的物理裝置時，狀態空間表示更可取。因此，我們將從拉普拉斯表示到狀態空間表示的轉換過程稱為“實現”。

實現條件

注意
如果滿足這些條件，離散系統G(z)也可以實現。

• 傳遞函式G(s)是可實現的，當且僅當該系統可以用有限維狀態空間方程描述。
• (A B C D)，四個系統矩陣的有序集合，稱為系統G(s)的實現。如果系統可以表示為這樣一個有序四元組，則該系統是可實現的。
• 系統G是可實現的，當且僅當傳遞矩陣G(s) 是一個適當的有理矩陣。換句話說，矩陣G(s) 中的每個條目（對於 SISO 系統僅為 1）都是一個有理多項式，並且如果分母的次數大於或等於分子的次數。

我們已經涵蓋了實現 SISO 系統的方法，本章的其餘部分將討論實現 MIMO 系統的一般方法。

實現傳遞矩陣

我們可以將傳遞矩陣G(s) 分解為一個嚴格適當的傳遞矩陣

$\mathbf {G} (s)=\mathbf {G} (\infty )+\mathbf {G} _{sp}(s)$

其中 G_sp(s) 是一個嚴格適當的傳遞矩陣。此外，我們可以用它來找到我們D 矩陣的值

$D=\mathbf {G} (\infty )$

我們可以將d(s) 定義為G(s) 中所有條目的最小公分母多項式

記住，q 是輸入的數量，p 是內部系統狀態的數量，r 是輸出的數量。

$d(s)=s^{r}+a_{1}s^{r-1}+\cdots +a_{r-1}s+a_{r}$

然後我們可以將G_sp 定義為

$\mathbf {G} _{sp}(s)={\frac {1}{d(s)}}N(s)$

其中

$N(s)=N_{1}s^{r-1}+\cdots +N_{r-1}s+N_{r}$

並且N_i 是p × q 常數矩陣。

如果我們記得將傳遞函式轉換為狀態空間方程的方法，我們可以遵循相同的通用方法，除了新的矩陣A 將是一個塊矩陣，其中每個塊的大小與傳遞矩陣的大小相同

$A={\begin{bmatrix}-a_{1}I_{p}&-a_{2}I_{p}&\cdots &-a_{r-1}I_{p}&-a_{r}I_{p}\\I_{p}&0&\cdots &0&0\\0&I_{p}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &I_{p}&0\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}I_{p}\\0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}N_{1}&N_{2}&N_{3}&\cdots &Nr\end{bmatrix}}$

按列實現系統

我們可以將 **G(s)** 分成多個列，分別實現它們，然後再將它們組合起來，形成 **G(s)**

$G(s)={\begin{bmatrix}G_{1}&G_{2}&G_{3}&\dots &G_{n}\end{bmatrix}}$

其中我們實現它們，得到

$G_{i}=>(A_{i},B_{i},C_{i},D_{i})$

系統的實現將是

$A={\begin{bmatrix}A_{1}&0&0&\dots &0\\0&A_{2}&0&&\vdots \\0&0&A_{3}\\\vdots &&&\ddots &0\\0&0&0&\dots &A_{n}\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}B_{1}&0&0&\dots &0\\0&B_{2}&0&&\vdots \\0&0&B_{3}\\\vdots &&&\ddots &0\\0&0&0&\dots &B_{n}\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}C_{1}&C_{2}&C_{3}&\dots &C_{n}\end{bmatrix}}$

$D={\begin{bmatrix}D_{1}&D_{2}&D_{3}&\dots &D_{n}\end{bmatrix}}$

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